Funkcje hiperboliczne odwrotne
Funkcje hiperboliczne odwrotne, funkcje polowe, funkcje area[1], areafunkcje[2][3] – funkcje odwrotne do hiperbolicznych[2], definiowane też poniższymi wzorami:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Mplwp_arsinh_arcosh_artanh.svg/220px-Mplwp_arsinh_arcosh_artanh.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Mplwp_arcoth_arsech_arcsch.svg/220px-Mplwp_arcoth_arsech_arcsch.svg.png)
Nazwa | Symbole[a] | Wzory | Funkcja odwrotna i przypis |
---|---|---|---|
area sinus hiperboliczny | sinus hiperboliczny[4][5] | ||
area cosinus hiperboliczny | cosinus hiperboliczny[6][5] | ||
area tangens hiperboliczny | tangens hiperboliczny[7][5] | ||
area cotangens hiperboliczny | cotangens hiperboliczny[8][5] | ||
area secans hiperboliczny | secans hiperboliczny[5] | ||
area cosecans hiperboliczny | cosecans hiperboliczny[5] |
Funkcje polowe czerpią nazwę stąd, że można nimi obliczać pola odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej [9]. Analogicznie funkcje kołowe (cyklometryczne, odwrotne do trygonometrycznych) są równe polom wycinków koła jednostkowego Funkcje polowe znajdują też zastosowanie poza geometrią i matematyką czystą, np. w fizyce i elektrotechnice; przykładowo cosinus polowy pojawia się w jednym ze wzorów na pojemność elektryczną[9].
Opis poszczególnych funkcji polowych
Area sinus
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Inverse_Hyperbolic_Sine.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Sine.svg.png)
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych Funkcja ta:
- jest nieparzysta;
- w punkcie
ma punkt przegięcia;
- jest rosnąca na całej dziedzinie;
- nie ma asymptot.
Area cosinus
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Inverse_Hyperbolic_Cosine.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Cosine.svg.png)
Cosinus hiperboliczny jako funkcja parzysta nie jest odwracalny w sensie złożenia. Przez to rozróżnia się dwie gałęzie area cosinusa[6]:
Jeśli są traktowane jako funkcje rzeczywiste, to ich dziedziną jest przedział Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera.
Area tangens
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Inverse_Hyperbolic_Tangent.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Tangent.svg.png)
Dziedziną tej funkcji jest przedział otwarty Funkcja ta:
- jest nieparzysta;
- jest rosnąca;
- ma dwie asymptoty i obie są pionowe:
Area cotangens
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7b/Inverse_Hyperbolic_Cotangent.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Cotangent.svg.png)
Dziedziną tej funkcji jest suma dwóch przedziałów otwartych: Funkcja ta:
Area secans
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Inverse_Hyperbolic_Secant.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Secant.svg.png)
Dziedziną tej funkcji jest przedział Funkcja ma asymptotę o równaniu
Area cosecans
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Inverse_Hyperbolic_Cosecant.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Cosecant.svg.png)
Dziedziną tej funkcji jest Funkcja ma dwie asymptoty:
i
Funkcja polowa | Funkcja pochodna | Przypisy |
---|---|---|
[10][11] | ||
[10][11] | ||
[10] | ||
[10][11] | ||
[11] | ||
[12] | ||
[13] |
Związki z innymi funkcjami
Całki funkcji algebraicznych
Wzór Eulera pozwala powiązać funkcje polowe z kołowymi (cyklometrycznymi) za pomocą jednostki urojonej [10][14]:
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
- Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. XXI. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-01460-1.
- I.M. Ryżyk, I.S. Gradsztejn: Tablice całek, sum, szeregów i iloczynów. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.
- Wojciech Żakowski: funkcje odwrotne do hiperbolicznych, [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.