Definicje funkcji Jakobiego Funkcje eliptyczne Jakobiego sn ( x , k 2 ) , {\displaystyle \operatorname {sn} (x,k^{2}),} cn ( x , k 2 ) {\displaystyle \operatorname {cn} (x,k^{2})} i dn ( x , k 2 ) {\displaystyle \operatorname {dn} (x,k^{2})} to funkcje spełniające następujące warunki:
sn ( F ( x , k 2 ) , k 2 ) = sin x ; sn ( 0 , k 2 ) = 0 {\displaystyle \operatorname {sn} (F(x,k^{2}),k^{2})=\sin x;\quad \operatorname {sn} (0,k^{2})=0} cn ( F ( x , k 2 ) , k 2 ) = cos x ; cn ( 0 , k 2 ) = 1 {\displaystyle \operatorname {cn} (F(x,k^{2}),k^{2})=\cos x;\quad \operatorname {cn} (0,k^{2})=1} dn ( F ( x , k 2 ) , k 2 ) = 1 − k 2 sin 2 x ; dn ( 0 , k 2 ) = 1 {\displaystyle \operatorname {dn} (F(x,k^{2}),k^{2})={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}};\quad \operatorname {dn} (0,k^{2})=1} gdzie F {\displaystyle F} to niezupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju .
Tw. Funkcje eliptyczne Jakobiego są funkcjami analitycznymi .
Definicje innych funkcji pochodzących od funkcji Jakobiego Definiuje się też inne funkcje utworzone z ilorazów funkcji Jakobiego (w analogii do funkcji trygonometrycznych tg x, ctg x, itd.; np. tg x = sin x/ coś x):
ns ( u ) = 1 sn ( u ) nc ( u ) = 1 cn ( u ) nd ( u ) = 1 dn ( u ) sc ( u ) = sn ( u ) cn ( u ) sd ( u ) = sn ( u ) dn ( u ) dc ( u ) = dn ( u ) cn ( u ) ds ( u ) = dn ( u ) sn ( u ) cs ( u ) = cn ( u ) sn ( u ) cd ( u ) = cn ( u ) dn ( u ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ns} (u)&={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {nc} (u)&={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {nd} (u)&={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {sc} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {sd} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {dc} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {ds} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {cs} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {cd} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}\end{aligned}}}
Własności Dla K ′ = K ( 1 − k 2 ) {\displaystyle K'=K(1-k^{2})} i K = K ( 1 − k 2 ) {\displaystyle K=K(1-k^{2})} ( K {\displaystyle K} to zupełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju ) można zapisać okresy funkcji:
sn ( x , k 2 ) {\displaystyle \operatorname {sn} (x,k^{2})} jako 4 K {\displaystyle 4K} oraz 2 i K ′ {\displaystyle 2iK'} cn ( x , k 2 ) {\displaystyle \operatorname {cn} (x,k^{2})} jako 4 K {\displaystyle 4K} oraz 2 K + 2 i K ′ {\displaystyle 2K+2iK'} dn ( x , k 2 ) {\displaystyle \operatorname {dn} (x,k^{2})} jako 2 K {\displaystyle 2K} oraz 4 i K ′ {\displaystyle 4iK'} Funkcje Jacobiego przyjmują wartości rzeczywiste dla 0 < k 2 < 1 , {\displaystyle 0<k^{2}<1,} a dla k 2 = 0 {\displaystyle k^{2}=0} i k 2 = 1 {\displaystyle k^{2}=1} redukują się do następujących funkcji:
sn ( x , 0 ) = sin x {\displaystyle \operatorname {sn} (x,0)=\sin x} cn ( x , 0 ) = cos x {\displaystyle \operatorname {cn} (x,0)=\cos x} dn ( x , 0 ) = 1 {\displaystyle \operatorname {dn} (x,0)=1} sn ( x , 1 ) = tgh x {\displaystyle \operatorname {sn} (x,1)=\operatorname {tgh} x} cn ( x , 1 ) = sech x {\displaystyle \operatorname {cn} (x,1)=\operatorname {sech} x} dn ( x , 1 ) = sech x {\displaystyle \operatorname {dn} (x,1)=\operatorname {sech} x} Funkcje te spełniają też następujące zależności:
s 2 + c 2 = 1 {\displaystyle s^{2}+c^{2}=1} (por. jedynka trygonometryczna ) k 2 s 2 + d 2 = 1 {\displaystyle k^{2}s^{2}+d^{2}=1} gdzie s = sn ( x , k 2 ) , {\displaystyle s=\operatorname {sn} (x,k^{2}),} c = cn ( x , k 2 ) {\displaystyle c=\operatorname {cn} (x,k^{2})} i d = dn ( x , k 2 ) . {\displaystyle d=\operatorname {dn} (x,k^{2}).}
Ich pochodne dane są przez:
∂ ∂ x sn ( x , k 2 ) = c d {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {sn} (x,k^{2})=cd} ∂ ∂ x cn ( x , k 2 ) = − s d {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {cn} (x,k^{2})=-sd} ∂ ∂ x dn ( x , k 2 ) = − k 2 s c {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\operatorname {dn} (x,k^{2})=-k^{2}sc}
Bibliografia XIII. Elliptic functions and integrals. W: Harry Bateman: Higher transcendental functions . T. II. 1953, s. 294–383.
Linki zewnętrzne