Dzielnik zera
element, którego pewna wielokrotność wynosi zero
Dzielnik zera – element pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element spełniający [1].
W nietrywialnym pierścieniu, czyli takim, w którym dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości[2]. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.
Własności
- Zbiór dzielników zera pierścienia
w którym istnieją właściwe dzielniki zera, jest sumą mnogościową ideałów pierwszych.
- Dowód Niech
będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny
generowany przez
jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny
którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny
Ponieważ
jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności).
- Dzielnik zera nie może być elementem odwracalnym.
- Dowód: Gdyby dla elementu
istniały elementy
i
takie, że
to:
- wbrew założeniu.
Przykłady
- W pierścieniu
właściwymi dzielnikami zera są
i
bowiem
- W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest
bowiem
- W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są
i
bowiem
- W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa
ponieważ
Zobacz też
Przypisy
Encyklopedie internetowe (element zbioru):
🔥 Top keywords: Wikipedia:Strona głównaMistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2024Specjalna:SzukajWikipedia:O WikipediiMichał ProbierzMistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2020Kylian MbappéMistrzostwa Europy w piłce nożnejMistrzostwa Świata w Piłce Nożnej 2022Antoine GriezmannNicola ZalewskiMistrzostwa świata w piłce nożnej mężczyznReprezentacja Francji w piłce nożnej mężczyznDzień OjcaTaras RomanczukRomelu LukakuMistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2016Reprezentacja Polski w piłce nożnej mężczyznAdam BuksaZofia Noceti-KlepackaPolskaDidier DeschampsRobert LewandowskiMistrzostwa Świata w Piłce Nożnej 2026FentanylMistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2028N’Golo KantéOndrej DudaPałac Stolbergów we WrocławiuSłowacjaGheorghe HagiMistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2020/FinałCristiano RonaldoReprezentacja Rumunii w piłce nożnej mężczyznMistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2012Tadeusz GapińskiMistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2024 (eliminacje)Olivier GiroudDawid Podsiadło