Ciąg zbiorów
Ciąg zbiorów – ciąg, którego elementami są zbiory; dokładniej: podzbiory pewnej przestrzeni. Podobnie jak dla ciągów liczbowych możliwe jest określenie granic dolnej i górnej, a przez to zbieżności.
Jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera się w poprzednim, ciąg nazywa się zstępującym lub nierosnącym; jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera poprzedni, ciąg nazywa się wstępującym bądź niemalejącym; ciąg, który jest zstępujący lub wstępujący (nierosnący lub niemalejący) nazywa się monotonicznym (por. warunki nakładane na łańcuchy, tutaj: podzbiorów).
Zbieżność
Niech dany będzie ciąg podzbiorów ustalonego zbioru
nazywanego dalej przestrzenią. Zbiory dane wzorami
nazywa się odpowiednio granicą dolną i granicą górną ciągu jeżeli
to ciąg nazywa się zbieżnym, a zbiór wyznaczony przez tę równość nazywa się granicą tego ciągu i zapisuje
Własności
- Zamiast napisu
(liczby naturalne bez zera) pod symbolami granic stosuje się również
niżej, dla przejrzystości, oznaczenia
będą pomijane, o ile nie doprowadzi to do nieporozumień.
Dla dowolnego ciągu następujące warunki są równoważne:
- ciąg
jest zbieżny do
- ciąg różnic symetrycznych
oraz
jest zbieżny do zbioru pustego
- ciąg funkcji charakterystycznych zbiorów
jest zbieżny punktowo na całej przestrzeni
do funkcji charakterystycznej zbioru
Dodatkowo dla przebiegającego wszystkie nieskończone podzbiory liczb naturalnych zachodzi
z kolei dla przebiegającego wszystkie podzbiory liczb naturalnych o dopełnieniu skończonym jest
a ponadto
a więc sprawdzając zbieżność, wygodnie jest niekiedy ograniczyć się do badania
Element wtedy i tylko wtedy, gdy
dla nieskończenie wielu wartości
[a]; z kolei
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla wszystkich poza skończenie wieloma wartościami
[b]; innymi słowy
a ponadto oraz
[c], gdzie
oznacza dopełnienie zbioru
Ciąg nazywa się nierosnącym lub zstępującym, jeżeli
oraz niemalejącym bądź wstępującym, jeżeli
dla każdego
O takich ciągach mówi się zbiorczo: monotoniczne i jako takie są one zbieżne, przy czym jeśli
jest nierosnący (zstępujący), to[d]
a jeżeli jest niemalejący (wstępujący), to[d]
Zastosowania
- Niżej
oznacza pewną przestrzeń probabilistyczną (bądź ogólniej: przestrzeń mierzalną z ustaloną miarą), a zbiory
będą zdarzeniami losowymi (albo po prostu zbiorami mierzalnymi).
Granice oraz
można uważać za „te zdarzenia
które zachodzą nieskończenie często” oraz „te zdarzenia
które w końcu będą zawsze zachodzić”; zawieranie
oznacza więc, że „zdarzenia
które ostatecznie zawsze zajdą, zachodzą nieskończenie często”, skąd granicę
można rozumieć jako żądanie, by „te ze zdarzeń
które zachodzą nieskończenie często, ostatecznie zawsze zachodziły”.
- Twierdzenie o ciągłości
- Jeżeli ciąg
jest monotoniczny, to prawdopodobieństwo tych ze zdarzeń z
które ostatecznie zajdą jest równe granicy prawdopodobieństw
[e], tzn.
- Lematy Borela-Cantellego
- Jeżeli
to
Z drugiej strony, jeżeli
dla zdarzeń niezależnych(!)[f], to
- Korzystając z podanych intuicji lematy Borela-Cantellego, można rozumieć w następujący sposób: „jeżeli suma prawdopodobieństw zdarzeń
jest skończona, to prawie na pewno nie przytrafią się zdarzenia, które zachodzą nieskończenie często, tzn. prawie na pewno zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń
” oraz „jeżeli suma prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń
jest nieskończona, to prawie na pewno mają miejsce zdarzenia zachodzące nieskończenie często” (gdzie przez „sumę” rozumie się „sumę nieskończoną”, czyli szereg); przypadkiem szczególnym drugiego z lematów jest twierdzenie o nieskończonej liczbie małp.
- Klasa monotoniczna i λ-układ
- Klasa monotoniczna to rodzina zdarzeń
która zawiera wszystkie granice ciągów monotonicznych tej rodziny. Każde σ-ciało zdarzeń jest klasą monotoniczną, zaś każde ciało zdarzeń będące klasą monotoniczną jest ich σ-ciałem. λ-układ to z kolei rodzina zdarzeń
do której należy
jeżeli zdarzenie
pociąga
to rodzina zawiera różnicę zdarzeń
oraz
(zdarzenie przeciwne do
względem
) oraz zawiera granice wstępujących ciągów zdarzeń należących do tej rodziny. Każdy λ-układ będący zarazem π-układem (rodziną zawierającą skończone koniunkcje należących do niej zdarzeń) jest σ-ciałem, o czym mówi lemat o π- i λ-układach.
- Twierdzenia Carathéodory’ego i Hahna-Kołmogorowa
- Niech
będzie nieujemną i skończenie addytywną funkcją na pewnym ciele
określonym na przestrzeni
(oraz
). Jeśli zachodzi warunek
- gdy
jest ciągiem wstępującym elementów
przy czym
(np. gdy
jest również klasą monotoniczną), wtedy
- gdy
- to
przedłuża się w jednoznaczny sposób do prawdopodobieństwa
na σ-ciele generowanym przez
- Równoważnie można żądać, by
był ciągiem zstępującym na
oraz
kiedy to
[g] z tymi samymi założeniami i tezą dotyczącymi
W topologii ciągi zbiorów zstępujących służą charakteryzacji metryzowalnych przestrzeni zwartych i metrycznych przestrzeni zupełnych (zob. twierdzenie Cantora o zupełności).