Ciąg uogólniony – rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym. Ciąg uogólniony nazywa się też ciągiem Moore’a-Smitha (w skrócie MS-ciągiem), a w żargonie matematycznym ciąg uogólniony bywa nazywany netem (z angielskiego).
Niech
będzie niepustym zbiorem, a
zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy dowolne odwzorowanie
[1]. Ciąg taki oznaczamy również
lub
. Wartość
jest elementem zbioru
przyporządkowanym elementowi ![{\displaystyle \sigma \in \Sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e317ef5a9e88ea7283469c1f23414fc26e1c9dcc)
Punkty skupienia i granicaedytuj kod
Niech
będzie przestrzenią topologiczną. Punkt
nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego
jeśli
![{\displaystyle \bigwedge _{U\subseteq X}\bigwedge _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigvee _{\sigma \geqslant \sigma _{0}}x_{\sigma }\in U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd39ca0a41e09a4e0ae49666d0857e545595229c)
gdzie
oznacza otoczenie punktu ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Punkt
nazywamy granicą ciągu uogólnionego
jeśli
![{\displaystyle \bigwedge _{U\subseteq X}\bigvee _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigwedge _{\sigma \geqslant \sigma _{0}}x_{\sigma }\in U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a230513580b2e1e2a7fd301e9fa9f6526dc4be2)
gdzie
tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Mówimy wtedy również, że
jest zbieżny do ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu
oznaczamy
albo ![{\displaystyle \lim _{\sigma \in \Sigma }S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cb4b84bb31fa7151f6a5cc62e0c7bb78af32e9)
Subtelniejsze ciągi uogólnioneedytuj kod
Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.
Ciąg uogólniony
nazywamy subtelniejszym od ciągu
jeśli istnieje funkcja
spełniająca warunki:
![{\displaystyle \bigwedge _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigvee _{\sigma _{0}'\in \Sigma '}\left[\sigma '\geqslant \sigma _{0}'\Rightarrow \varphi (\sigma ')\geqslant \sigma _{0}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e9573192d1bc2f45687e28ef038ecad0ad6aad)
![{\displaystyle \bigwedge _{\sigma '\in \Sigma '}x_{\varphi (\sigma ')}=x_{\sigma '}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd417f01367f7bfd1e8c1f7052d6e0b3a7e6b25)
- Jeśli punkt
jest punktem skupienia ciągu uogólnionego
subtelniejszego od
to
jest punktem skupienia ![{\displaystyle S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bbb1f0f6ebdfa78b4fed06049640f7386bb44b)
- Jeśli punkt
jest granicą ciągu uogólnionego
to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego ![{\displaystyle S'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f4a4c9e86ff6684e7ac7b1403a40d349721d77)
- Jeśli punkt
jest punktem skupienia ciągu uogólnionego
to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego
subtelniejszego od ![{\displaystyle S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bbb1f0f6ebdfa78b4fed06049640f7386bb44b)
Ciągi uogólnione w przestrzeniach topologicznychedytuj kod
- Odwzorowanie
przestrzeni topologicznych jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego ciągu uogólnionego
. - Punkt
przestrzeni
jest punktem skupienia zbioru
wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu uogólnionego
, gdzie
dla każdego
. - Punkt
przestrzeni
należy do domknięcia zbioru
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg uogólniony
zbieżny do
taki, że
dla każdego
. - Zbiór
jest domknięty w przestrzeni
wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym zbieżnym ciągiem uogólnionym zawiera jego granice[1].
- Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 2007, s. 67-69.
- G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1999.
- S. Gładysz: Wstęp do topologii, Warszawa: PWN, 1981.