Centralizator i normalizator
Centralizator (centrum), normalizator – specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.
Centralizator
Niech Centralizatorem elementu
nazywamy podgrupę
Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.
Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru niekoniecznie będącego podgrupą.
Centralizatorem zbioru nazywamy grupę
Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru
Centrum
Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:
Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy mamy zatem
O centralizatorze elementu można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie
zawierającej
w swoim centrum
Indeks grupy względem centrum można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elementów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.
W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia,
Twierdzenie Schura
Jeśli to
Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w[1].
Normalizator
Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru
Normalizatorem w
jest podgrupa
Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli to
jest największą podgrupą
mającą
jako swoją podgrupę normalną.
Działanie grupy na zbiorze
Niech będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy
grupy
na zbiorze warstw
zadane wzorem
Wówczas
jest podgrupą normalną
Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w
Jeśli to
Oznaczenia
W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie mamy więc
oraz
dla dowolnego zbioru
Własności
Niech będą grupami,
- Niech
co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
i
komutują ze sobą.
- Jeśli
to
- Jeśli
- Jeśli
jest abelowa, to
oraz
- grupa
jest abelowa
- grupa
jest zawsze podgrupą normalną
jest podgrupą normalną
- Jeśli grupa ilorazowa
jest cykliczna, to
jest abelowa.
- Jeśli
jest grupą nieabelową, to jej indeks względem
jest większy od
- Jeśli
to
Uwagi
Jeżeli wtedy grupa ilorazowa
jest izomorficzna z podgrupą
grupą automorfizmów
Jeżeli to
jest izomorficzna z
podgrupą
zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy
Jeżeli to homomorfizm
taki, że
pozwala na opisanie
oraz
w terminach działania grupy
na grupie
jest stabilizatorem
w
jest podgrupą punktów stałych
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
- A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
- Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.