Brzeg (matematyka)
Brzeg – zbiór punktów „granicznych” danego zbioru.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Runge_theorem.svg/220px-Runge_theorem.svg.png)
Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie matematycznej pochodne funkcji rozpatruje się zwykle wyłącznie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego i całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczącym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire’a.
- Opisane w artykule pojęcie brzegu różni się pojęć brzegów dla rozmaitości topologicznych, czy kompleksów symplicjalnych.
Definicja
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Otoczenia.svg/220px-Otoczenia.svg.png)
Niech dana będzie przestrzeń topologiczna oraz zawarty w niej zbiór
Brzegiem zbioru
nazywa się zbiór
lub równoważnie
gdzie oraz
oznaczają odpowiednio domknięcie i wnętrze zbioru
zaś
jego dopełnienie.
Obok oznaczenia stosuje się też
(od ang. boundary, frontier).
Punkty brzegu nazywa się punktami brzegowymi i z definicji wynika, że punkty brzegowe są to te punkty, których dowolne otoczenie zawiera punkt należący do jak i taki, który należy do jego dopełnienia
[1][2].
Własności
Wprost z definicji wynika, że brzeg zbioru jest:
- równy brzegowi jego dopełnienia,
- zawarty w domknięciu tego zbioru,
- zbiorem domkniętym,
Domknięcie jest sumą zbioru i jego brzegu,
więcej: zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg oraz otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem. Brzeg zbioru jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty; mówi się wtedy, że zbiór „nie ma brzegu”. Zbiór o pustym wnętrzu nazywa się zbiorem brzegowym.
Dla dowolnego zbioru zachodzi
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest brzegowy (co ma miejsce np. wtedy, gdy
jest otwarty lub domknięty). Ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, to
dla dowolnego zbioru czyli operator brzegu
spełnia pewną słabszą postać idempotentności.
Przykłady
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Mandelbrot_Components.svg/220px-Mandelbrot_Components.svg.png)
Niech oznacza zbiór liczb rzeczywistych z jego naturalną topologią. Wówczas
Ostatnie dwa przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być nadzbiorem danego zbioru.
Pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni: w naturalnej topologii przestrzeni euklidesowej brzegiem koła
jest okrąg
jednak zanurzenie koła w
jest zbiorem brzegowym, natomiast w topologii
zrelatywizowanej do
zbiór ten nie ma brzegu.
W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.
Zobacz też
Przypisy
Linki zewnętrzne
- Achille Varzi , Boundary, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 10 października 2013, ISSN 1095-5054 [dostęp 2017-12-30] (ang.). (Brzeg)