Algebra nad ciałem
Algebra nad ciałem (algebra liniowa) – przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień[1] (niekoniecznie łączny).
Definicja algebry
Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem
Jeżeli dane jest działanie dwuargumentowe
mnożenia wektorów, które dla dowolnych
oraz
spełnia warunki
- lewostronnej i prawostronnej rozdzielności względem dodawania wektorów,
- zgodności z działaniem mnożenia przez skalary,
to z tak wprowadzoną strukturą nazywa się algebrą nad ciałem
bądź
-algebrą.
Baza i wymiar algebry. Podalgebra. Ideał
Bazą algebry nazywa się bazę przestrzeni liniowej
Wymiarem algebry jest wymiar przestrzeni
Podalgebrą algebry nazywa się jej podprzestrzeń liniową
która jest zarazem podpierścieniem pierścienia
tzn. jeżeli
to
oraz
Ideałem lewostronnym (lub ideałem prawostronnym) algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową która jest lewostronnym (odpowiednio prawostronnym) ideałem pierścienia
a więc jeżeli
oraz
to
(odpowiednio
).
Szczególne rodzaje algebr
Algebra łączna
– algebra, w której mnożenie wektorów jest łączne.
Powstały pierścień jest łączny (jest to jeden z najczęściej nakładanych na pierścienie warunków).
Algebra przemienna
– algebra, w której mnożenie wektorów jest przemienne.
Algebra przemienna tworzy wtedy pierścień przemienny, a warunki lewo- i prawostronnej rozdzielności są równoważne.
Algebra z jedynką
– zwana też algebrą unitarną, nieściśle: algebrą z jednością – algebra, w której działanie ma element neutralny różny od elementu zerowego
Oznacza to, że pierścień ma jedynkę i jest przy tym nietrywialny.
Algebra z dzieleniem
– algebra z jedynką, w której każdy niezerowy element jest odwracalny.
Oznacza to, że pierścień jest z dzieleniem.
Tw. Algebra łączna i przemienna z dzieleniem tworzy ciało.
Homomorfizm algebr
Ponieważ algebra jest jednocześnie przestrzenią liniową i pierścieniem to homomorfizmem algebr nazywamy funkcję która jest jednocześnie homomorfizmem przestrzeni liniowych i homomorfizmem pierścieni[2]. Tzn. homomorfizmem algebr nad tym samym ciałem
nazywamy funkcję
która spełnia
Przykłady algebr
- Dowolne ciało tworzy algebrę nad samym sobą (w tym ciało liczb zespolonych).
- Algebra kwaternionów (pierścień z dzieleniem) – to algebra nieprzemienna.
- Każde rozszerzenie ciała
może być traktowane jako
-algebra przemienna z mnożeniem zewnętrznym elementów z
przez elementy z
zdefiniowanym jako zawężenie mnożenia
do
- Algebra macierzy: zbiór macierzy kwadratowych stopnia
nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, z dodawaniem i mnożeniem macierzy przez siebie oraz mnożeniem macierzy przez skalar; jest to algebra nieprzemienna o wymiarze
- Algebra endomorfizmów: zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni liniowej (zob. przekształcenie liniowe)
wymiaru większego niż
z działaniami ich dodawania i mnożenia oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary (określonymi punktowo) jest algebrą nieprzemienną.
- Pierścień wielomianów
oraz ciało wyrażeń wymiernych
(bądź odpowiednio funkcji wielomianowych oraz funkcji wymiernych) z dodawaniem i mnożeniem elementów oraz mnożeniem ich przez skalar (określonymi punktowo, zob. przestrzeń funkcyjna) tworzą zwykle algebry nieprzemienne.
- Algebra Liego – algebra, w której mnożenie wektorów jest dwuliniowe, antysymetryczne i spełnia tożsamość Jacobiego. Mnożenie to nazywa się nawiasem Liego.
- Algebra Leibniza – algebra, w której mnożenia spełnia tożsamość Leibniza. Algebra Leibniza jest algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy mnożenie jest antyprzemienne. Każdą algebrę łączną można przekształcić w algebrę Liego / Leibniza, jeżeli zdefiniuje się działanie mnożenia jako komutator / antykomutator.
- Funkcje schodkowe[potrzebny przypis];
- Algebra zerowa, w której iloczyn dowolnych dwóch elementów wynosi 0, jest algebrą łączną i przemienną, ale nie unitarną. Może być rozszerzona do algebry z jedynką poprzez wzięcie sumy prostej jej i ciała, czego przykładem są liczby dualne.
- Algebra grupowa, zdefiniowana dla dowolnej grupy skończonej
jako zbiór wszystkich wyrażeń formalnych postaci
gdzie współczynniki są elementami ciała. Działania dodawania i mnożenia przez skalary są określone tak jak w przestrzeniach wektorowych. Mnożenie jest zdefiniowane jako mnożenie wyrażeń algebraicznych, gdzie mnożeniu elementów
odpowiada działanie grupowe.
- Algebra incydencji, zdefiniowana dla dowolnego lokalnie skończonego częściowego porządku
jako zbiór funkcji na parach
elementów
równych 0 dla wszystkich par niespełniających
Dodawanie i mnożenie przez skalar są zdefiniowane punktowo; mnożenie za pomocą splotu
Dla porządku lokalnie skończonego taka suma ma skończenie wiele składników.
Zobacz też
- *-algebra
- algebra Jordana
- algebra Leibniza