π-układ

π-układ – rodzina zbiorów zamknięta na branie skończonych przekrojów. Formalnie: rodzina zbiorów ${\mathcal {H}}$ jest π-układem wtedy i tylko wtedy, gdy^[1]:

A,B\in {\mathcal {H}}\implies A\cap B\in {\mathcal {H}}.

Takie rodziny stosuje się przede wszystkim w teoriach mnogości, miary i prawdopodobieństwa.

Przykłady

Dowolna σ-algebra jest π-układem.
Rodzina wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni topologicznej stanowi π-układ.
Rodziny przedziałów $\{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}$ oraz $\{(a,b]:a,b\in \mathbb {R} \}\cup \{\emptyset \}$ stanowią π-układy podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb {R} .$
Jeśli ${\mathcal {H}}_{1}$ jest π-układem podzbiorów $\Omega _{1},$ a ${\mathcal {H}}_{2}$ jest π-układem podzbiorów $\Omega _{2},$ to ${\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}=\{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in {\mathcal {H}}_{1},A_{2}\in {\mathcal {H}}_{2}\}$ jest π-układem podzbiorów produktu kartezjańskiego $\Omega _{1}\times \Omega _{2}.$

Zobacz też

Przypisy

[1]