Curl

I matematikk er vektorrotasjon eller rotasjon^[1] (engelsk: curl) en differensiell vektor-operator som beskriver den infinitesimale rotasjonen av et vektorfelt, i form av en vektor i ethvert punkt i feltet. Egenskapene til denne vektoren (lengden og retningen) beskriver rotasjonen i punktet. Curlen av et vektorfelt ${\displaystyle \mathbf {F} }$ betegnes med ${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {F} }$ eller ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$, hvor ${\displaystyle \nabla }$ er nabla-operatoren og ${\displaystyle \times }$ er kryssproduktet.

I det tre-dimensjonale kartesiske koordinatsystemet er rotasjonen av vektorfeltet ${\displaystyle \mathbf {F} =u\mathbf {i} +v\mathbf {j} +w\mathbf {k} }$ gitt ved ^[2]

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\u&v&w\end{vmatrix}},}$

hvor ${\displaystyle |\mathbf {A} |}$ er determinanten til matrisen ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Determinanten kan skrives ut som følger

${\displaystyle \left({\frac {\partial w}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial u}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$