In de wiskundige analyse is een sturm-liouvilleprobleem een naar Charles Sturm en Joseph Liouville genoemde 2e-orde differentiaalvergelijking over het eindige interval
van de vorm:
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd11cd73ad09259ee6c1b81ae08af766966ba4a)
met de niet-triviale randvoorwaarden:
![{\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4afc6b7d1e22bd19535df8dbe153d665fdacc9fa)
![{\displaystyle \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514b6de1c0e325bd6ceb921043a1705896ed6618)
Hierin zijn de functies
en
continu en reëelwaardig, met
en
.
Het probleem kan geformuleerd worden met behulp van de lineaire differentiaaloperator
![{\displaystyle L={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e3423aa26afee8916a1e3e831926f48c9afb54)
en heeft dan de vorm van het eigenwaardeprobleem:
![{\displaystyle Ly=\lambda \,y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a011d5167a7bfed0442695e6e97b48e0f4903477)
Er is altijd de triviale oplossing
, maar voor sommige waarden van
bestaan er niet-nul oplossingen. Dit zijn de zogenaamde eigenwaarden
met bijhorende eigenfuncties
.
De hoofdresultaten van de Sturm-Liouvilletheorie zijn:
- De eigenwaarden
zijn reëel en kunnen geordend worden om een strikt stijgende rij te vormen:
![{\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0a0bf6d153b554976ffaf33904113de40d674d)
- met limiet
![{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _{n}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd21e23b2718458dd6bb351710e93c73dd9313af)
- De bij
horende eigenfunctie
is uniek op een constante niet-nulfactor na, en heeft exact
nulpunten in het interval
.
- De eigenfuncties
vormen na normeren een orthogonale basis voor de gewichtsfunctie
over ![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \langle y_{n},y_{m}\rangle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817c4dd12b8cd791073204a3d130a064352c650a)
Sturm-Liouvilleproblemen hebben praktisch nut, omdat ze veel voorkomen in de wiskundige natuurkunde, bijvoorbeeld in elektromagnetisme, kwantummechanica en akoestiek.