Puntgroep

Er zijn in drie dimensies vier soorten puntsymmetrie-bewerkingen, met de identiteit meegeteld vijf. Beperkt tot discrete symmetrie zijn dit:

1. Spiegeling in een vlak, symbool ${\displaystyle \sigma }$ .
2. Niet-triviale rotatie om een as, om een lijn, symbool ${\displaystyle C_{n}}$ . De ${\displaystyle C}$ staat voor cyclisch, deze staan model voor de cyclische groepen.
3. Inversie door een punt, symbool ${\displaystyle i}$ . Het inversiepunt is altijd ook het symmetriepunt, het moleculaire centrum. De combinatie rotatie over een hoek van 180° en inversie levert een spiegeling op: ${\displaystyle C_{2}i=\sigma }$ .
4. Draaispiegeling samengesteld uit een rotatie over een hoek die niet 0° of 180° is, om een as, plus een spiegeling in een vlak loodrecht op die as, symbool ${\displaystyle S_{n}}$ , met ${\displaystyle S_{n}=C_{n}\sigma =\sigma C_{n}}$ .
5. Identieke afbeelding in de ruimte, symbool ${\displaystyle E}$ .

Twee keer vlakspiegeling of twee keer puntspiegeling komt weer uit bij de beginsituatie: ${\displaystyle \sigma ^{2}=E,\ i^{2}=E}$ . De index ${\displaystyle n}$ bij ${\displaystyle C_{n}}$ en ${\displaystyle S_{n}}$ geeft het aantal rotaties aan dat nodig is om weer uit te komen bij de beginsituatie: ${\displaystyle C_{n}^{n}=E,\ S_{n}^{n}=E}$ . Theoretisch kan ${\displaystyle n}$ ieder natuurlijk getal zijn, het aantal puntgroepen is dus oneindig, maar in de meeste toepassingen is ${\displaystyle n}$ niet groter dan 8 à 12.

De puntsymmetrie-elementen zijn:

1. Het spiegelvlak, symbool ${\displaystyle \sigma }$ met horizontaal: ${\displaystyle \sigma _{\text{h}}}$ , verticaal: ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$ en diagonaal: ${\displaystyle \sigma _{\text{d}}}$ .
2. De rotatieas, symbool ${\displaystyle C_{n}}$ .
3. Het inversiepunt, symbool ${\displaystyle i}$ .
4. De draaispiegelingsas, symbool ${\displaystyle S_{n}}$ .

De puntsymmetrieelementen van een object of molecuul bepalen welke puntsymmetriebewerkingen mogelijk zijn. Een puntgroep als verzameling van bewerkingen wordt daarom bepaald aan de hand van de puntsymmetrieelementen. De puntsymmetrieelementen en de daarbij voorkomende bewerkingen worden gewoonlijk met dezelfde symbolen aangegeven, eventueel met een subscript als nadere precisering.

De puntgroepen kunnen globaal aan de hand van het aantal rotatieassen worden ingedeeld:

• De niet-axiale groepen, dat wil zeggen dat er onder de puntsymmetrieelementen geen rotatieas as voorkomt: ${\displaystyle C_{1}}$ bij ${\displaystyle E}$ , ${\displaystyle C_{i}}$ bij i en ${\displaystyle C_{s}}$ bij ${\displaystyle \sigma }$ .
• De groepen met één hoofdas: ${\displaystyle C_{n}}$ bij eigenlijke rotatie, ${\displaystyle S_{2n}}$ bij oneigenlijke rotatie en ${\displaystyle C_{n{\text{v}}},C_{n{\text{h}}}}$ bij rotatie en vlakspiegeling.
• De groepen met één hoofdas en ${\displaystyle n}$ nevenassen: ${\displaystyle D_{n}}$ zonder spiegelvlakken en ${\displaystyle D_{n{\text{d}}},D_{n{\text{h}}}}$ met spiegelvlakken erbij. Dit zijn dihedrale groepen
• De groepen met drie of meer hoofdassen: de kubische groepen ${\displaystyle T,\,T_{\text{h}},\,T_{\text{d}},\,O}$ en ${\displaystyle O_{\text{h}}}$ en de icosahedrale groepen ${\displaystyle I}$ en ${\displaystyle I_{\text{h}}}$ . De subscripten verwijzen ook hier naar spiegelvlakken.
• De groepen voor lineaire symmetrie: ${\displaystyle C_{\infty {\text{v}}},D_{\infty {\text{h}}}}$ en voor bolsymmetrie: ${\displaystyle R_{3}}$ . Dit zijn oneindige groepen.
• Daarnaast nog een aantal dubbelgroepen. Deze worden gevormd door als extra operator nog tijdsinversie (spininversie) toe te voegen. Dubbelgroepen zijn vooral nuttig bij het beschrijven van overgangsmetaalcomplexen.

De hoofdas wordt altijd als ${\displaystyle z}$ -as gedefinieerd: h voor horizontaal duidt dan op het ${\displaystyle xy}$ -vlak, v voor verticaal duidt op de ${\displaystyle x_{i}z}$ -vlakken en d voor diagonaal op de vlakken diagonaal tussen ${\displaystyle x_{i}z}$ en ${\displaystyle x_{i+1}z}$ .

De groepselementen van een puntgroep zijn niet de symmetrie-elementen, maar de symmetrie-operatoren.

Nemen we als voorbeeld ${\displaystyle D_{4{\text{h}}}}$ , een dihedrale groep, de puntgroep in de driedimensionale ruimte van een vierkant, dat per definitie in het horizontale ${\displaystyle xy}$ -vlak ligt.

De puntgroep ${\displaystyle D_{4{\text{h}}}}$ wordt door een verzameling van zes symmetrie-elementen bepaald: één verticale ${\displaystyle C_{4}}$ -as, langs de ${\displaystyle z}$ -as, vier horizontale ${\displaystyle C_{2}}$ -assen, dit zijn de twee ${\displaystyle C_{2}'}$ -assen langs ${\displaystyle x}$ -as en ${\displaystyle y}$ -as en de twee ${\displaystyle C_{2}''}$ -assen diagonaal tussen ${\displaystyle x}$ - en ${\displaystyle y}$ -as, en het σ_h-vlak, het ${\displaystyle xy}$ -vlak. De twee ${\displaystyle C_{2}'}$ -assen kunnen door ${\displaystyle C_{4}}$ in elkaar worden overgevoerd, zo ook de twee ${\displaystyle C_{2}''}$ -assen. Het resultaat is een minimale verzameling van vier onafhankelijke symmetrie-elementen. De vier bijbehorende symmetrieoperatoren, ${\displaystyle C_{4},\,C_{2}',\,C_{2}''}$ en ${\displaystyle \sigma _{\text{h}}}$ vormen de genererende verzameling van de groep ${\displaystyle D_{4{\text{h}}}}$ dat is: deze minimale verzameling van vier symmetrie-operatoren genereert de volledige verzameling van 16 symmetrie-operatoren van de groep ${\displaystyle D_{4{\text{h}}}}$ : ${\displaystyle E,\,C_{4},\,C_{4^{2}}=C_{2}(z),\,C_{4^{3}},\,C_{2}'(x)C_{2}'(y),\,2C_{2}''}$ , beide diagonaal tussen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle i,\,S_{4},\,S_{4^{3}},\,\sigma _{\text{h}},\,2\sigma _{\text{v}},\,2\sigma _{\text{d}}}$ .

De groep ${\displaystyle D_{4{\text{h}}}}$ bezit dus 16 groepselementen, in de taal van de groepentheorie: de orde van de groep ${\displaystyle D_{4{\text{h}}}}$ is 16. Dit is de groepsorde, te onderscheiden van de orde van de afzonderlijke elementen.

${\displaystyle C_{4}}$ is een element van de orde 4, het genereert een cyclische ondergroep van de orde 4: ${\displaystyle C_{4},\,C_{4^{2}}=C_{2},\,C_{4^{3}}}$ en ${\displaystyle C_{4},\,C_{4^{2}}=C_{2},\,C_{4^{4}}=E}$ . Dit is de groep ${\displaystyle C_{4}}$ , te onderscheiden van het element ${\displaystyle C_{4}}$ dat de groep genereert, net als ${\displaystyle C_{4^{3}}}$ . ${\displaystyle S_{4}}$ is ook een element van de orde 4 en genereert de cyclische ondergroep ${\displaystyle S_{4}}$ ook, net als ${\displaystyle S_{4^{3}}}$ . Het element ${\displaystyle E}$ is van de orde 1 en genereert de triviale ondergroep ${\displaystyle C_{1}}$ . De andere elementen van de groep ${\displaystyle D_{4{\text{h}}}}$ zijn van de orde 2, zij genereren de cyclische ondergroepen ${\displaystyle C_{2},\,C_{i}=S_{2}}$ of ${\displaystyle C_{s}=C_{h}}$ , die groepen van de orde 2 zijn.

Deze cyclische groepen zijn niet de enige ondergroepen van ${\displaystyle D_{4{\text{h}}}}$ . Andere ondergroepen worden gevormd door twee of meer genererende elementen. ${\displaystyle D_{4{\text{h}}}}$ heeft bijvoorbeeld als niet-cyclische ondergroepen van de orde 8: ${\displaystyle D_{4},\,C_{4{\text{h}}},\,C_{4{\text{v}}},\,D_{2{\text{d}}},\,D_{2{\text{h}}}}$ en als niet-cyclische ondergroepen van de orde 4: ${\displaystyle D_{2},\,C_{2{\text{h}}},\,C_{2{\text{v}}},\,D_{2{\text{d}}},\,D_{2{\text{h}}}}$ .

Een kristal kan worden gezien als opgebouwd uit eenheidscellen, die in een rooster zijn gestapeld volgens een bepaalde translatiesymmetrie. De puntsymmetrie van de eenheidscel moet verenigbaar, compatibel, zijn met de translatiesymmetrie van het rooster. De combinatie, in de driedimensionale Euclidische ruimte, van de translatiesymmetrie-elementen met de compatibele puntsymmetrieelementen levert de kristallografische ruimtegroepen op, daarvan zijn er precies 230.

Terwijl er oneindig veel puntgroepen zijn, zijn maar weinig puntgroepen compatibel met de translatiesymmetrie van een kristal. Een 5-tallige, 7-tallige of hogere as bestaat niet in kristallen, omdat daarmee de ruimte niet kan worden gevuld. Een rooster opgebouwd door een onbepaald aantal translaties kan alleen de volgende rotatieassen bevatten: ${\displaystyle C_{1},\,C_{2},\,C_{3},\,C_{4}}$ en ${\displaystyle C_{6}}$ . Daarnaast kan nog een inversiecentrum ${\displaystyle i}$ als onafhankelijk puntsymmetrieelement aanwezig zijn. Bedenk daarbij dat oneigenlijke rotaties en spiegelvlakken worden gegenereerd door combinaties van eigenlijke rotaties en inversie.

Een eerste selectie aan de hand van deze symmetriebewerkingen als genererende elementen geeft de volgende puntgroepen: ${\displaystyle C_{n},\,S_{n}}$ ^[2], ${\displaystyle C_{n{\text{h}}},\,C_{n{\text{v}}},\,D_{n},\,D_{n{\text{h}}},\,D_{n{\text{d}}}}$ voor ${\displaystyle n=1,2,3,4\ {\text{of}}\ 6}$ , en de kubische puntgroepen ${\displaystyle T,\,T_{\text{d}},\,T_{\text{h}},\,O,\,O_{\text{h}}}$ . Zo genoteerd, zitten bij deze 40 groepen echter dubbeltellingen en uitsluitingen. Dubbel geteld zijn er 6: ${\displaystyle C_{1{\text{v}}}\equiv C_{1{\text{h}}},\,D_{1}\equiv C_{2},\,D_{1{\text{h}}}\equiv C_{2{\text{v}}},\,D_{1{\text{d}}}\equiv C_{2{\text{h}}},\,S_{1}\equiv C_{1{\text{h}}}}$ en ${\displaystyle S_{3}\equiv C_{3{\text{h}}}}$ , in de tabel is steeds een van beide in grijs aangegeven. ${\displaystyle D_{4{\text{d}}}}$ en ${\displaystyle D_{6{\text{d}}}}$ moeten worden uitgesloten, in de tabel in rood aangegeven, omdat deze twee groepen de uitgesloten ${\displaystyle S_{8}}$ respectievelijk ${\displaystyle S_{12}}$ bevatten, die in de tabel 'De belangrijkste puntgroepen, hun groepselementen gegroepeerd in conjugatieklassen en hun subgroepen' vet aangegeven. Er blijven precies 32 puntgroepen over die compatibel zijn met translatiesymmetrie en de ruimtegroepen, dit zijn de 32 kristallografische puntgroepen. De systematiek ervan is in onderstaande tabel samengevat:

De 32 kristallografische puntgroepen
in geel

kubisch	T	Td	Th	O	Oh
n	1	2	3	4	6
Cn	C1	C2	C3	C4	C6
Cnv	C1v=C1h	C2v	C3v	C4v	C6v
Cnh	C1h	C2h	C3h	C4h	C6h
Dn	D1=C2	D2	D3	D4	D6
Dnh	D1h=C2v	D2h	D3h	D4h	D6h
Dnd	D1d=C2h	D2d	D3d	D4d	D6d
Sn	S1=C1h	S2	S3=C3h	S4	S6

De Schoenflies notatie is geschikt voor alle puntgroepen, maar niet geschikt voor ruimtegroepen. Arthur Moritz Schoenflies 1853-1928 kwam uit Duitsland en heeft een belangrijke bijdrage geleverd aan de toepassing van de groepentheorie op de kristallografie. Kristallograaf Carl Hermann uit Duitsland en mineraloog Charles-Victor Mauguin uit Frankrijk hebben beide een notatie bedacht, die tegelijk kan worden toegepast op de 3-dimensionale ruimtegroepen en op de 32 kristallografische puntgroepen. Deze notatie wordt de Internationale notatie of Hermann-Mauguinnotatie genoemd. Hoewel de Internationale notatie niet geldt voor alle puntgroepen, heeft zij in de kristallografie de voorkeur over de Schönflies notatie omdat het een gemakkelijke notatie voor translatiesymmetrie elementen biedt en omdat het bovendien de richtingen van de symmetrie-assen aangeeft.

De toepassing van de Internationale notatie blijft hier tot de puntgroepen beperkt. Net als de Schönflies notatie baseert de Internationale notatie zich op de symmetrie-elementen. Bij de classificatie voor oneigenlijke rotaties wordt in de Internationale notatie het inversie-element i gebruikt, in de Schönflies notatie wordt het reflectie-element met een σ wordt aangegeven. Met de gegeven systematiek voor het vaststellen van de 32 kristallografische is ook de systematiek van de Hermann–Mauguin notatie voor puntgroepen goed duidelijk te maken.

• De symbolen voor eigenlijke rotaties worden verkort tot cijfers, dus C₁, C₂, C₃, C₄ en C₆ worden weergegeven als 1, 2, 3, 4 en 6.
• De symbolen voor oneigenlijke rotaties, hier dus rotaties met inversie, hebben een streep boven de cijfers, dus C₁i, C₂i, C₃i, C₄i en C₆i worden weergegeven als 1, 2, 3, 4, 6. Merk hier dus op: C₁i ≡ i, dus 1 ≡ C_i, zo ook C₂i ≡ σ en 2 ≡ C_s. Op dezelfde wijze vindt men 3 ≡ S₆, 4 ≡ S₄ en 6 ≡ S₃.
• Het symbool voor spiegeling is in Internationale notatie m. Let hier op: omdat C_s ≡ 2 het symbool m krijgt, vervalt het symbool 2.
  • Als het spiegelvlak de n-voudige eigenlijke rotatieas bevat, in Schönflies is dit σ_v of σ_d, is het samengestelde symbool nm, met n=1,2,3,4 of 6.
  • Als het het spiegelvlak loodrecht op de n-voudige eigenlijke rotatieas staat, in Schönflies is dit σ_h, is het samengestelde symbool ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$ , met n=1,2,3,4 of 6.

Als extra regel geldt dat men met het minimale aantal symbolen volstaat, dit betekent voor de niet-cyclische groepen dat men zich beperkt tot de genererende elementen. Dus bijvoorbeeld C_3v met symmetrie-elementen C₃ en 3σ_v wordt in Internationale notatie niet 3mmm, maar 3m , en D₃ met C₃ en 3C₂ wordt niet 3222 maar 32. Als er echter onafhankelijke assen of vlakken zijn, kunnen de symbolen wel twee of drie keer voorkomen. Zo wordt de groep D₂ met drie onafhankelijke C₂ assen aangegeven met 222.Een bijzonder geval is D_3h, men is geneigd die groep te schrijven als ${\displaystyle {\tfrac {2}{m}},{\tfrac {2}{m}},{\tfrac {2}{m}}}$ , maar dan is er overtolligheid, en dit is vereenvoudigd tot mmm. De groep T met meervoudige 2- en 3-tallige assen is 23 geworden en niet 32, want 32 is de groep D₃. De 3-tallige as komt ook bij de andere kubische groepen op de tweede plaats.

De Schoenflies notatie is gevolgd, die in de scheikunde het meeste wordt gebruikt en die voor alle puntgroepen bruikbaar is. De Schoenfliessymbolen krijgen in het geval van dubbelgroepen een * of een ' als superscript, we laten dit hieronder verder buiten beschouwing. In de kristallografie gebruikt men een andere puntgroepnotatie, de Internationale of Hermann-Mauguin notatie, die alleen op de verzameling van kristallografische puntgroepen van toepassing is.

• Lineair ? ja →
  • inversie ja? → D_∞h
  • inversie nee? → C_∞v

• Lineair ? nee →
  • 2 of meer C_n, n ≥ 3 ? ja →
    • → inversie ? ja → C₅ ? ja → I_h
    • → inversie ? ja → C₅ ? nee → O_h
    • → inversie ? nee → T_d

• Lineair ? nee → 2 of meer C_n, n ≥ 3 ? nee → C_n ? ja.
  • Kies C_n met grootste n → nC₂ loodrecht op C_n ? ja →
    • σ_h ? ja → D_nh
    • σ_h ? nee → nσ_d ? ja → D_nd
    • σ_h ? nee → nσ_d ? nee → D_n

• Lineair ? nee → 2 of meer C_n, n ≥ 3 ? nee → C_n ? ja →
  • Kies C_n met grootste n: nC₂ loodrecht C_n met grootste n ? nee, geen →
    • σ_h ? ja → C_nh
    • σ_h ? nee → σ_v ? ja → C_nv
    • σ_h ? nee → σ_v ? nee → S_2n ? ja → S_2n
    • σ_h ? nee → σ_v ? nee → S_2n ? nee → C_n

Nota bene: als men uitkomt bij C_n of C_nv, moet men controleren op de aanwezigheid van een S_2n-as. De S_2n-as wordt zichtbaar door het object of molecuul te projecteren langs de C_n-as. Is er zo'n S_2n-as, dan geldt C_n → S_2n en C_nv → D_nd.

• Lineair ? nee → 2 of meer C_n, n ≥ 3 ? nee → C_n ? nee →
  • σ ? ja → C_s
  • σ ? nee → i ja ? → C_i
  • σ ? nee → i nee ? → C₁

De 32 kristallografische puntgroepen in Schönflies notatie en in Internationale notatie.

Schoenflies symbool	Internationaal symbool
C1	1
Ci	1
C2	2
Cs	m
C2h	${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$
D2	222
C2v	mm (mm2)
D2h	mmm
C4	4
S4	4
C4h	${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$
D4	422
C4v	4mm
D2d	42m (4m2)
D4h	${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$
C3	3
S6	3
D3	32
C3v	3m
D3d	3m
C6	6
C3h	6
C6h	${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}}$
D6	622
C6v	6mm
D3h	6m2 (62m)
D6h	${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}}$
T	23
Th	m3 (m3)
O	432
Td	43m
Oh	m3m (m3m)

De kristallografische puntgroepen van de roosterpunten moeten compatibel zijn met de symmetrie van het bravaisrooster waarvan de roosterpunten een onderdeel zijn. Er zijn puntgroepen die daar nooit aan voldoen. De belangrijkste puntgroepen, kristallografische en overige, staan in de volgende tabel.