Lineaire afbeelding
In de wiskunde is een lineaire afbeelding ruwweg een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart, wat inhoudt dat zowel de optelling als de scalaire vermenigvuldiging behouden blijven. Het beeld van de som van vectoren is gelijk aan de som van de beelden, en het beeld van een (scalaire) veelvoud van een vector is gelijk aan hetzelfde veelvoud van het beeld. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten en modulen.
Definitie
Een afbeelding , waarbij
en
vectorruimten over een lichaam (Ned. term; in België: veld)
zijn, heet lineair als voor elk paar
en elk element
:
en
.
Zolang niet uitdrukkelijk gebruikgemaakt wordt van het feit dat scalairen ongelijk nul een omgekeerde hebben, gaat bovenstaande definitie naadloos over naar algemenere lineaire afbeeldingen tussen modulen over een commutatieve ring. De theorie blijft een tijdlang analoog, behalve dat niet ieder moduul een basis heeft (nodig voor onder meer de dimensiestelling).
Bij een niet-commutatieve ring kan men eventueel spreken van een links-lineaire afbeelding tussen linkermodulen.
Combineren van lineaire afbeeldingen
De verzameling van alle lineaire afbeeldingen van een vaste vectorruimte
naar een vaste vectorruimte
, beide over het lichaam
, is met een geschikte optelling en vermenigvuldiging met een scalair zelf ook een vectorruimte over
.
Voor de lineaire afbeeldingen en
van
naar
wordt de som
gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element
de som van de beelden onder
en
toevoegt:
en wordt voor een element het veelvoud
gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element
het
-veelvoud van het beeld onder
toevoegt:
De verzameling is een deelruimte van de vectorruimte
over
van de functies van
naar
.
Van de lineaire afbeeldingen en
, waarin
en
vectorruimten over het lichaam
zijn, is ook de samenstelling een lineaire afbeelding:
.
Nulruimte en beeldruimte
De nulruimte of kern van een lineaire afbeelding
is de verzameling van alle vectoren die door
op de nulvector worden afgebeeld. Het beeld van het domein van
, het bereik, heet ook de beeldruimte
van
. Zowel de nulruimte als de beeldruimte van een lineaire afbeelding is weer een lineaire ruimte.
Matrix
De lineaire afbeelding van de
-dimensionale vectorruimte
naar de
-dimensionale vectorruimte
beeldt de basisvectoren
van
af op de vectoren
,
die, zoals alle vectoren in , kunnen worden geschreven als lineaire combinatie van de basisvectoren
van
:
De bijbehorende -matrix
heeft als elementen de coördinaten
, en wel is
Voor een vector , met
geldt:
,
waarin
Voorbeelden
Voorbeeld 1
De identieke afbeelding is lineair. De projectie op een vector is lineair. Lineaire afbeeldingen over eindigdimensionale vectorruimten kunnen door een matrix worden voorgesteld, en omgekeerd kan men met elke eindigdimensionale matrix een lineaire afbeelding associëren.
Voorbeeld 2
De afbeelding die een differentieerbare functie afbeeldt op haar afgeleide, is een lineaire afbeelding. Hierbij zijn
respectievelijk de verzamelingen van functies en van alle functies die minstens één keer differentieerbaar zijn.
Voorbeeld 3
De afbeelding , is lineair. De bijbehorende matrix is:
Het eerste element van de beeldvector is gelijk aan het standaardinproduct van de argumentvector met de bovenste rij van de matrix; het tweede element van de beeldvector is gelijk aan het standaardinproduct van de argumentvector
met de onderste rij van de matrix.
Voorbeeld 4
De afbeelding is een lineaire afbeelding tussen twee modulen over de ring
. De kern van deze afbeelding is het
-moduul dat bestaat uit alle gehele getallenkoppels van de vorm
. Het beeld is
, de verzameling van alle drievouden.
Algemener kan elke abelse groep worden opgevat als een -moduul, en elk groepsisomorfisme tussen abelse groepen wordt een lineaire afbeelding.
Eigenschappen
Dimensiestelling
De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen luidt: Laat en
eindigdimensionale vectorruimten zijn en
een lineaire afbeelding van
in
. Dan is:
,
waarbij het beeld en
de kern van
is.
Uit deze stelling volgt onmiddellijk:
Zij een lineaire afbeelding en
, dan is
injectief dan en slechts dan als
surjectief is.
Hieruit volgt weer: als injectief of surjectief is, dan is
een bijectie, en dus vanwege de lineariteit een isomorfisme.