Kettingregel

Laat ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle V}$ open intervallen zijn en ${\displaystyle g:U\to \mathbb {R} }$ en ${\displaystyle h:V\to \mathbb {R} }$ functies met ${\displaystyle h(V)\subseteq U}$ . Als ${\displaystyle h}$ differentieerbaar is in het punt ${\displaystyle a\in V}$ en ${\displaystyle g}$ differentieerbaar in het punt ${\displaystyle h(a)\in U}$ , dan is de samenstelling ${\displaystyle g\circ h:V\to \mathbb {R} }$ differentieerbaar in ${\displaystyle a}$ , en er geldt:

${\displaystyle (g\circ h)'(a)=g'(h(a))\cdot h'(a)}$

${\displaystyle (g\circ h)'(x)=}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {(g\circ h)(x)-(g\circ h)(a)}{x-a}}}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {g(h(x))-g(h(a))}{x-a}}}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}\left[{\frac {g(h(x))-g(h(a))}{h(x)-h(a)}}\cdot {\frac {h(x)-h(a)}{x-a}}\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {g(h(x))-g(h(a))}{h(x)-h(a)}}\cdot \lim _{x\to a}{\frac {h(x)-h(a)}{x-a}}}$

${\displaystyle =g'(h(x))\cdot h'(x)}$

Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan dat

${\displaystyle h(x)=h(a)}$

zodat in het bewijs door 0 zou worden gedeeld.

De functie

${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2})}$

is de samenstelling van de functies

${\displaystyle g(y)=\sin(y)}$

en

${\displaystyle h(x)=x^{2}}$

De afgeleide van ${\displaystyle f}$ kan met de kettingregel worden bepaald:

${\displaystyle f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x}$

De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee functies zijn samengesteld. Beschouw de functie:

${\displaystyle f(x)=\sin \left(e^{\cos(2x)}\right)}$

Deze functie is een 'ketting'

${\displaystyle f=d\circ c\circ b\circ a}$

van de functies:

${\displaystyle a(x)=2x}$

${\displaystyle b(y)=\cos(y)}$

${\displaystyle c(z)=e^{z}}$

${\displaystyle d(t)=\sin(t)}$

De afgeleiden van deze functies zijn:

${\displaystyle a'(x)=2}$

${\displaystyle b'(a)=-\sin(a)}$

${\displaystyle c'(b)=e^{b}}$

${\displaystyle d'(c)=\cos(c)}$

De afgeleide van de oorspronkelijke functie is het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, kort geschreven als:

${\displaystyle f'(x)=d'(c)\cdot c'(b)\cdot b'(a)\cdot a'(x)}$

dus:

${\displaystyle f'(x)=\cos(c(b(a(x))))\cdot e^{b(a(x))}\cdot (-\sin(a(x)))\cdot 2}$

en na invullen

${\displaystyle f'(x)=-2\cdot \sin(2x)\cdot e^{\cos(2x)}\cdot \cos(e^{\cos(2x)})}$

Met de kettingregel kan een verband gelegd worden tussen de afgeleiden van een functie ${\displaystyle f}$ en daarvan de inverse ${\displaystyle f^{-1}}$ .

Er geldt immers: ${\displaystyle f(f^{-1})(x)=x}$ , zodat volgens de kettingregel:

${\displaystyle (f\circ f^{-1})'(x)=f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x)=1}$

zodat

${\displaystyle (f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}}$

De afgeleide van de arcsinus:

${\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sin '(\arcsin(x))}}={\frac {1}{\cos(\arcsin(x))}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin(x))\ }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}\ }}}}$

De afgeleide van de reciproque ${\displaystyle g(x)=1/f(x)}$ van een functie ${\displaystyle f(x)}$ kan ook met de kettingregel worden bepaald. Er geldt immers: ${\displaystyle g(x)=((h\circ f)(x)}$ , met ${\displaystyle h(y)=1/y}$ , zodat volgens de kettingregel:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {1}{f(x)}}\right)=g'(x)=h'(f(x))\cdot f'(x)=-{\frac {1}{(f(x))^{2}}}\cdot f'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$

Stel dat ${\displaystyle f=g\circ h}$ de samenstelling is van de afbeeldingen ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle h}$ in meer dan een variabele. Bijvoorbeeld

${\displaystyle h:D\subset \mathbb {R} ^{m}\to E\subset \mathbb {R} ^{n},\ g:E\to \mathbb {R} ^{p},\ f=g\circ h:D\to \mathbb {R} ^{p}}$

Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle h}$ in de juiste punten differentieerbaar zijn, zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:

${\displaystyle h'(x):\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},\ g'(h(x)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$

De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval ${\displaystyle f}$ ook differentieerbaar is in ${\displaystyle x}$ en dat zijn afgeleide daar de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van ${\displaystyle h}$ en ${\displaystyle g}$

${\displaystyle f'(x)=g'(h(x))\circ h'(x)}$

Als de betrokken lineaire afbeeldingen als rechthoekige matrices worden opgevat, die uit alle mogelijke partiële afgeleiden bestaan, dan is de matrix van ${\displaystyle f'(x)}$ gelijk aan het product van de matrices van ${\displaystyle g'(h(x))}$ en ${\displaystyle h'(x)}$ .

${\displaystyle {\partial f_{i} \over \partial x_{k}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g_{i} \over \partial x_{j}}{\partial h_{j} \over \partial x_{k}}\quad }$ met ${\displaystyle i=1,\ldots ,p\ }$ en ${\displaystyle \ k=1,\ldots ,m}$

Bijvoorbeeld voor ${\displaystyle p=1,m=1}$ :

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}{\partial h_{j} \over \partial x}}$

Met aanvullend ${\displaystyle h_{j}(x)=x\ }$ en ${\displaystyle \ j=1,\ldots ,n}$ geeft dit:

Als ${\displaystyle f(x)=g(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ , dan

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}}$

Hieruit volgt bijvoorbeeld de productregel.