Dubbelverhouding
In de meetkunde is de dubbelverhouding van vier collineaire punten gedefinieerd als de verhouding van twee deelverhoudingen. De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie.
Definitie
De dubbelverhouding van de vier collineaire punten en
in de euclidische ruimte, genoteerd als
of
is gedefinieerd als het quotiënt van de deelverhoudingen
en
:
Als en
de coördinaten zijn van respectievelijk
en
op de rechte als getallenrechte, wordt de dubbelverhouding:
De dubbelverhouding is positief als de deelpunten en
ofwel allebei op het lijnstuk
ofwel allebei buiten het lijnstuk
liggen. Ligt een van de punten op het lijnstuk
en een erbuiten, dan is de dubbelverhouding negatief.
Verwisselt men en
of
en
, dan verandert de dubbelverhouding in zijn omgekeerde, dus
Verwisselt men en
, dan krijgt men
Vier punten op een lijn hebben dus zes verschillende waarden als dubbelverhouding, namelijk:
en
Bij vier punten op gelijkmatige afstand en in volgorde krijgen we bijvoorbeeld 4. De andere vijf waarden zijn dan 1/4, -3, -1/3, 3/4 en 4/3.
Harmonische ligging
Als de punten en
het lijnstuk
respectievelijk inwendig en uitwendig in dezelfde verhouding verdelen, geldt voor de deelverhoudingen
,
dus voor de dubbelverhouding
Men zegt dat de vier punten in harmonische ligging zijn.
De volgende uitspraken zijn gelijkwaardig:
- Het geordende viertal punten
is een harmonisch puntenviertal.
- De dubbelverhouding
.
- De punten
en
liggen harmonisch ten opzichte van de punten
en
.
- Het punt
is harmonisch toegevoegd aan of harmonisch verwant met het punt
ten opzichte van de punten
en
.
Voorbeelden
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Dubbelverhouding%28voorbeeld_2%29.jpg/240px-Dubbelverhouding%28voorbeeld_2%29.jpg)
(EFPQ) = -1
- Van de hoeken tussen twee snijdende rechten
en
zijn
en
de bissectrices. De rechte
snijdt de vier rechten
en
in opvolgend de punten
en
. De punten
en
zijn dan harmonisch toegevoegd ten opzichte van de punten
en
.
- Een lijn door twee diagonaalpunten van een volledige vierhoek snijdt de overige zijden in twee punten die ten opzichte van die diagonaalpunten harmonisch liggen (zie de figuur hiernaast).
- De binnen- en buitenbissectrice van een hoek van een driehoek snijden de overstaande zijde van die hoek in punten die harmonisch toegevoegd zijn ten opzichte van de hoekpunten op die zijde.
Eigenschappen
De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie, dus als en
twee stellen collineaire punten zijn, en de lijnen
en
concurrent zijn, geldt
.
Dubbelverhouding van lijnen
Door de invariantie van de dubbelverhouding onder centrale projectie kan de dubbelverhouding ook gedefinieerd worden voor concurrente coplanaire rechten. Snijden de door hetzelfde punt gaande rechten en
een rechte
in vier niet-samenvallende punten
en
, dan is de dubbelverhouding
gedefinieerd als
Alternatieve definitie
Een alternatieve equivalente definitie voor de dubbelverhouding van vier concurrente rechten is
Harmonische vierstraal
Een vierstraal is een geordend viertal coplanaire, concurrente rechten. Een vierstraal heet harmonisch dan en slechts dan, als
. De volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig:
- De vierstraal
is harmonisch.
- De dubbelverhouding
.
- De lijnen
en
liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen
en
.
- Lijn
is harmonisch toegevoegd aan lijn
ten opzichte van de lijnen
en
.
Voorbeelden
- Twee snijdende rechten
en
liggen harmonisch ten opzichte van de bissectrices
en
van de hoeken die ze met elkaar maken.
- Twee diagonalen van een volledige vierhoek zijn harmonisch toegevoegd ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
- De poollijn van een punt
, ten opzichte van de rechten
en
met snijpunt
, is de lijn die harmonisch is toegevoegd aan de lijn
ten opzichte van de lijnen
en
.
Dubbelverhouding op een kegelsnede
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Dubbelverhouding_op_kegelsnede.svg/300px-Dubbelverhouding_op_kegelsnede.svg.png)
Verbindt men een veranderlijk punt van een niet ontaarde kegelsnede met vier vaste punten van
, dan verkrijgt men een veranderlijke vierstraal met constante dubbelverhouding. Die dubbelverhouding is enkel afhankelijk van de stand van de vier punten op de kegelsnede en wordt de dubbelverhouding van die vier punten genoemd.
Snijdt men vier vaste raaklijnen aan een niet ontaarde kegelsnede met een veranderlijke raaklijn aan
, dan verkrijgt men een puntenviertal met constante dubbelverhouding. Die dubbelverhouding is enkel afhankelijk van de stand van de vier vaste raaklijnen en wordt de dubbelverhouding van die vier raaklijnen genoemd.
Op de figuur zijn de rechten en
vaste raaklijnen en de punten
en
vaste punten op de kegelsnede.
De dubbelverhouding is onafhankelijk van de stand van het punt
op de kegelsnede, daardoor is de dubbelverhouding
ondubbelzinnig bepaald. Zo is ook
onafhankelijk van de stand van de veranderlijke raaklijn
en is de dubbelverhouding
van de vier vaste raaklijnen correct gedefinieerd.