Continue functie (topologie)
- Artikel
- Overleg
Hulpmiddelen
Algemeen
Afdrukken/exporteren
In de topologie en aanverwante gebieden binnen de wiskunde is een continue functie een morfisme tussen topologische ruimten. Intuïtief is het een functie waar een verzameling van punten dicht bij
altijd het beeld van een verzameling van punten dicht bij
bevat. Voor een algemene topologische ruimte betekent dit dat een omgeving van
altijd het beeld van een omgeving van
bevat.
Dat houdt in dat in een metrische ruimte, zoals de reële getallen, de punten binnen een gegeven afstand van altijd de beelden van alle punten binnen een zekere afstand van
bevatten; dit wordt geformuleerd in de ε-δ-definitie.
Er bestaan verschillende equivalente definities van een topologische ruimte, en dus zijn er ook verschillende equivalente manieren om een continue functie te definiëren.
De meest gangbare definitie in de topologie van continue functie is als functie waarvan de originelen van open verzamelingen ook open zijn. Vergelijkbaar met de formulering in termen van open verzamelingen is die voor met gesloten verzamelingen, die stelt dat de originelen van gesloten verzamelingen ook gesloten zijn.
Een functie van de topologische ruimte
naar de topologische ruimte
heet continu in
, voor enige
, als voor elke omgeving
van
er een omgeving
van
bestaat zodanig dat
. Als
continu is op elke
, dan zeggen we simpelweg dat
continu is.
Hoewel deze definitie ingewikkeld lijkt, wordt hier intuïtief beweerd dat hoe "klein" ook mag worden, wij altijd een
, met daarin
, kunnen vinden die daarbinnen wordt afgebeeld.
In een metrische ruimte zijn de open ballen, rond en
de omgevingen. Dit leidt tot de standaard ε-δ-definitie van een continue functie uit de reële analyse, die ruwweg zegt dat een functie continu is, indien alle punten dicht bij
op punten dicht bij
afgebeeld worden. Deze omschrijving heeft alleen betekenis in een metrische ruimte, waar een begrip afstand is gedefinieerd.
Is de beeldruimte een Hausdorff-ruimte, dan is dan en slechts dan continu in
als de limiet van
, als
tot
nadert, gelijk is
. Op een geïsoleerd punt is iedere functie continu.