ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നം

ത്രിമാന ലെവി സിവിറ്റ ചിഹ്നം താഴെക്കാണുന്ന വിധത്തിലാണ് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്;

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(3,1,2){\mbox{ or }}(2,3,1),\\-1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,3,2),(3,2,1){\mbox{ or }}(2,1,3),\\0&{\mbox{if }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i\end{cases}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ന്റെ വില,(i, j, k)എന്നത് (1,2,3) ന്റെ ഇരട്ട ക്രമചയമാണെങ്കിൽ (even permutation) 1ഉം ഒറ്റ ക്രമചയമാണെങ്കിൽ(odd permutation) -1ഉം i,j,k എന്നിവയിലേതെങ്കിലും ആവർത്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ 0വും ആണ്.

ത്രിമാന ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാൻ താഴെക്കാണുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം;

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(k-j\right)}{2}}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}}$

ചതുർമാനത്തിൽ ഇതിന്റെ മൂല്യം;

${\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(l-i\right)\left(k-j\right)\left(l-j\right)\left(l-k\right)}{12}}={\frac {\left(i-j\right)\left(i-k\right)\left(i-l\right)\left(j-k\right)\left(j-l\right)\left(k-l\right)}{12}}}$ ആണ്.

ഉദാഹരണത്തിന് രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിൽ,3×3 മാട്രിക്സിന്റെ സാരണികം(determinant) ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നമുപയോഗിച്ച്

${\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}}$

എന്നെഴുതാം.രണ്ടു സദിശങ്ങളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്ട് എഴുതാനും ഈ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കാം

${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}}$

കുറച്ചുകൂടി ലളിതമായിപ്പറഞ്ഞാൽ:

${\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.}$

• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (See section 3.5 for a review of tensors in general relativity).