കാന്ററുടെ ഡയഗണൽ ആർഗ്യുമെന്റ്
ഗണസിദ്ധാന്തത്തിൽ കാന്ററുടെ ഡയഗണൽ ആർഗ്യുമെന്റ് അഥവാ ഡയഗണലൈസേഷൻ ആർഗ്യുമെന്റ് അഥവാ ഡയഗണൽ സ്ലാഷ് ആർഗ്യുമെന്റ് അഥവാ ഡയഗണൽ രീതി 1891 ൽ പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ജോർജ് കാന്റർ ആവിഷ്കരിച്ചതാണ്. നിസർഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ (natural numbers) ഗണം ഒരു അനന്തഗണമാണ്. എന്നാൽ ഗണിതത്തിൽ ഇതിനേക്കാൾ 'വലിയ' വേറെയും അനന്തഗണങ്ങൾ (ഇത്തരം ഗണങ്ങളിലെ അംഗങ്ങളെ പൂർണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി ഒന്നിനോടൊന്ന് പ്രതിചിത്രണം (map) ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല എന്നർത്ഥം) ഉണ്ടെന്നുള്ളതിന്റെ തെളിവായാണ് അദ്ദേഹം ഇത് നിർമ്മിച്ചെടുത്തത്.[1][2][3] ഇത്തരം ഗണങ്ങൾ ഇന്ന് അസംഖ്യഗണങ്ങൾ(uncountable sets) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. കാന്റർ തന്നെ വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത ഗണനസംഖ്യകളുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ചാണ് ഇത്തരം ഗണങ്ങളെ ഗണിതത്തിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്.
ഈ തെളിവ് ഉപയോഗിച്ച് വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിന്റെ അസംഖ്യേയതയും തെളിയിക്കാവുന്നതാണ്. എന്നാൽ ഇതിനു മുൻപ് തന്നെ 1874 ൽ കാന്റർ വേറൊരു വഴിയിലൂടെ തെളിയിച്ചിരുന്നു.[4]ഇത് തുടർന്നുള്ള നാളുകളിൽ ഗണിതത്തിൽ പല മേഖലയിലും ഉപയോഗിയ്ക്കാൻ സാധിയ്ക്കുന്ന ശക്തമായ ഒരു പൊതു രീതി കൊണ്ടുവന്ന ഒരു തെളിവ് ആയിരുന്നു.[5] ഗ്വോഡലിന്റെ അപൂർണതാ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ (Incompleteness Theorems), ഹിൽബെർട്ടിന്റെ തീരുമാനപ്രശ്നത്തിനുള്ള (Entscheidungsproblem, Decision Problem) ടൃൂറിങ്ങിന്റെ തെളിവ് മുതലായവ ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിയ്ക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തങ്ങളാണ്. എന്നാൽ ചില അവസരങ്ങളിൽ ഈ സങ്കേതം റസ്സൽസ് പാരഡോക്സ് പോലെയുള്ള ചില വൈരുദ്ധ്യങ്ങൾക്കും കാരണമായിട്ടുണ്ട്.[6][7]
അസംഖ്യാഗണം
തന്റെ 1891 ലെ പ്രബന്ധത്തിൽ കാന്റർ ദ്വയാങ്കസംഖ്യാവ്യവസ്ഥയിലെ അക്കങ്ങളുടെ (ബൈനറി ഡിജിറ്റുകളുടെ, binary digits, 0, 1 എന്നിവ) അനന്തമായ എല്ലാ അനുക്രമങ്ങളും (infinite sequences) അടങ്ങുന്ന T എന്ന ഒരു ഗണത്തെ വിവരിച്ചു. താഴെക്കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്ന പ്രമേയത്തിന്റെ (theorem) ഒരു തെളിവ് വിവരിച്ചുകൊണ്ടാണ് അദ്ദേഹം തുടങ്ങുന്നത്:
- T എന്ന ഗണത്തിലെ ഒരു ഗണനമാണ് (enumeration) s1, s2, … , sn, … എങ്കിൽ sn എന്ന ഒരു അനുക്രമവും ഇല്ലാത്ത s എന്ന ഒരു അംഗമെങ്കിലും T യിൽ ഉണ്ടാകും.
T എന്ന ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ ഗണനങ്ങൾ എഴുതിക്കൊണ്ടാണ് തെളിവ് തുടങ്ങുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്:
s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...) s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...) s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...) ...
അടുത്തതായി s എന്ന അംഗത്തെ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം. ഇതിനായി s1 എന്ന അംഗത്തിലെ ആദ്യ അക്കത്തെ എടുത്തു തിരിച്ചിടുക (0 ത്തെ 1 ആക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും), s2 എന്ന അംഗത്തിലെ 2 മത്തെ അക്കത്തെ എടുത്തു തിരിച്ചിടുക, s3 യിലെ 3 മത്തെ അക്കത്തെയും...പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ sn എന്ന അംഗത്തിലെ n മത്തെ അക്കത്തെയും തിരിച്ചിടുക. ഇങ്ങനെ തിരിച്ചിട്ടു കിട്ടിയ അക്കങ്ങളെ അനുക്രമമായി എഴുതിയതാണ് s എന്ന അംഗം. അതായത് :
s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...) s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...) s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...) ... s = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...)
ഇനി ശ്രദ്ധിയ്ക്കുക, s എന്ന അംഗത്തെ ഉണ്ടാക്കിയ രീതി വെച്ച് s എന്ന അംഗം ഗണത്തിലെ മറ്റേതൊരു അംഗത്തെക്കാളും വ്യത്യസ്തമാണ്. കാരണം ഏതു അംഗത്തിലെയും ഒരു അക്കം തിരിച്ചിട്ടാണല്ലോ s ഉണ്ടാക്കിയത്. അതായത് s എന്ന അംഗം sn എന്ന ഏതൊരു അംഗത്തിലെയും n മത്തെ അക്കത്തിൽ വ്യത്യസ്തമായിരിയ്ക്കും. അതായത് s എന്നത് T എന്ന ഗണത്തിൽ ഉണ്ടാകില്ല.
പക്ഷെ തെളിവ് തുടങ്ങിയത് T എന്ന ഗണം ഇത്തരം എല്ലാ അനുക്രമങ്ങളെയും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു അനന്തഗണം ആണെന്ന് സൂചിപ്പിച്ചാണ്. പക്ഷെ അതിൽ ഇല്ലാത്ത ഒരംഗത്തെ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം എന്ന് മുകളിലെ ഫലം സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നു.
അതായത് ഇതൊരു വൈരുദ്ധ്യമാണ്.
വൈരുദ്ധ്യം ഉണ്ടാക്കി തെളിയിക്കൽ (Proof by contradiction) എന്ന രീതി പ്രകാരം ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തിച്ചേർന്നെങ്കിൽ തുടക്കത്തിലെ പ്രസ്താവന തെറ്റായിരിയ്ക്കണം. അതായത് T എന്ന ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ എണ്ണാനോ ഗണനമായി എഴുതാനോ സാധ്യമല്ല.അതായത് :T എന്ന ഗണം അസംഖ്യമാണ്.
വാസ്തവികസംഖ്യകൾ
വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിന്റെ അസംഖ്യേയതയെ കാന്ററുടെ 1874 ലെ തെളിവ് സാധൂകരിച്ചിരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും മുകളിലെ തെളിവും വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ അസംഖ്യേയതയെ തെളിയിയ്ക്കുന്നുണ്ട്. ഇത് തെളിയിക്കാനായി ദ്വയാങ്ക അക്കങ്ങളുടെ അനുക്രമങ്ങൾ അടങ്ങിയ T എന്ന അനന്തഗണത്തിൽ നിന്നും വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ R എന്ന ഗണത്തിലേക്ക് ഒരു അന്തക്ഷേപഫലനം അഥവാ ഒരു ഇൻജെക്ഷൻ (injection, T യിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും R എന്ന ഗണത്തിൽ വ്യത്യസ്തമായ ഒരു പ്രതിബിംബം ഉണ്ടായിരിയ്ക്കും) ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം. T അസംഖ്യേയം ആയതുകൊണ്ട് ഇതിന്റെ R എന്ന ഗണത്തിലെ രംഗവും (codomain, image) അസംഖ്യേയം ആയിരിയ്ക്കും. ഒരു ഉപഗണം അസംഖ്യേയം ആയതുകൊണ്ട് R ഉം അസംഖ്യേയം ആയിരിയ്ക്കും.
കാന്റർ ഉണ്ടാക്കിയതു പോലെ T യും R ഉം തമ്മിൽ ഒരു ഉഭയക്ഷേപഫലനം അഥവാ ഒരു ബൈജെക്ഷനും (bijection, T യിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും R ൽ ഒരു പ്രതിബിംബം ഉണ്ടായിരിയ്ക്കും, അതോടൊപ്പം R ൽ ഇങ്ങനെ പ്രതിബിംബം അല്ലാത്ത വേറെ ഒരു അംഗവും ഉണ്ടാകില്ല) ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം. ഇതിൽ നിന്നും T യുടെയും R ന്റെയും ഗണനസംഖ്യ ഒന്നാണെന്ന് കാണാം. ഇതിനെ നൈരന്തര്യത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ (cardinality of continuum) എന്നു വിളിയ്ക്കുന്നു. ഇതിനെ 
T യിലെ സ്ട്രിങ്ങുകളിൽ നിന്ന് (T യിലെ അംഗങ്ങൾ ദ്വയാങ്ക അക്കങ്ങളുടെ ഒരു അനുക്രമം അഥവാ ഒരു സ്ട്രിംഗ് മാത്രമാണല്ലോ) നിന്ന് R ലെ ദശാംശസംഖ്യകളിലേയ്ക്ക് താഴെ പറയുന്ന പോലെ ഒരു ഇൻജെക്ഷൻ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് t = 0111… എന്ന അനുക്രമത്തെ 0.0111…. എന്ന സംഖ്യയിലേയ്ക്ക് പ്രതിചിത്രണം (map) ചെയ്യാം. f (t) = 0.t എന്ന ഈ ഫലനം ഒരു ഇൻജെക്ഷൻ ആണ്.