Geometrinė progresija

Skaičių seka ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ vadinama geometrine progresija, jei tam tikram skaičiui ${\displaystyle q\neq 0\,}$ tenkinama ši sąlyga:

${\displaystyle \forall _{n\in \mathbb {N} }a_{n+1}=a_{n}\cdot {q}}$

Skaičius ${\displaystyle q\,}$ vadinamas geometrinės sekos vardikliu ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ .

Jeigu yra žinomas pirmasis progresijos narys a=a₁ ir vardiklis q, tada n-asis narys gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

${\displaystyle a_{n}=a\,q^{n-1}.}$

Priklausomai nuo vardiklio reikšmės, sekos riba skiriasi:

• Jei 0 < q < 1, seka artėja į 0
• Jei q = 1, sekos riba yra a (visi sekos nariai yra lygūs)
• Jei q > 1, seka artėja į begalybę
• Jei 0 > q > −1, seka artėja į 0. Šiuo atveju yra du posekiai (teigiamų ir neigiamų narių), artėjantys į 0
• Jei q = −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba a, kito −a
• Jei q < −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba yra ${\displaystyle \infty }$ (begalybė), kito −${\displaystyle \infty }$

Geometrinė progresija, kurios vardiklio modulis q yra mažesnis už vienetą vadinama nykstamąja geometrine progresija.^[2]

• Seka ${\displaystyle (1,3,9,27,81,243,\ldots )}$ yra geometrinė seka su vardikliu ${\displaystyle q=3,\,}$
• Seka ${\displaystyle (1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,\ldots )}$ yra geometrinė seka su vardikliu ${\displaystyle q=-2,\,}$
• Seka ${\displaystyle (1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},\ldots )}$ yra geometrinė seka su vardikliu ${\displaystyle q={\frac {1}{2}},\,}$

Geometrinės progresijos charakteringoji savybė – seka su teigiamaisiais nariais yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai bet kuris jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai progresija yra baigtinė), yra lygus gretimų narių geometriniam vidurkiui.^[3]

${\displaystyle \ b_{n}^{2}=b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$

Geometrinės progresijos baigtinio n narių skaičiaus suma yra:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}={\frac {a(1-q^{n})}{1-q}}}$ .

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma ( | q | < 1 ! ) yra:

${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}}$ .

Vienintelis žinomas geometrinės progresijos įrašas iš Babilono matematikos laikų yra įspaustas molio lentelėje, šios progresijos pagrindas – 3, o vardiklis 1/2.^[4]

Euklido Pradmenų (apie 300 m. pr. m. e.) VIII ir IX knygose yra analizuojamos geometrinės progresijos ir pateikiamos jų savybės.^[5]