포논 (phonon), 또는 음향양자 (音響量子)는 응집물질물리학 에서 결정 격자 의 양자화 된 진동을 나타내는 준입자 이다. 포논은 고체 의 열 과 전기 전도도 등에 중요한 역할을 하며, 긴 파장의 포논은 음파 를 생성한다. 포논은 계 의 고전적 정규 모드(normal mode )의 양자로 생각할 수 있다.
1차원 격자의 정규 진동 모드. 이를 양자화하면 포논을 얻는다.
역사
정의 N {\displaystyle N} 개의 동일한 입자가 1차원에서 일정한 간격을 두고 배치되어 있다고 하자. 편의상 주기적 경계 조건을 부여하자. 그렇다면 그 해밀토니언 은 다음과 같다.
H = ∑ i = 1 N p i 2 / 2 m + 1 2 m ω 0 2 ∑ i = 1 N ( x i + 1 − x i ) 2 {\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{2}/2m+{\frac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}\sum _{i=1}^{N}(x_{i+1}-x_{i})^{2}} .다음과 같이 위치와 운동량의 푸리에 변환 Q {\displaystyle Q} , Π {\displaystyle \Pi } 연산자를 정의하자.
Q k = 1 N ∑ l e i k a l x l {\displaystyle Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}} Π k = 1 N ∑ l e − i k a l p l {\displaystyle \Pi _{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}} .이들은 일반적으로 에르미트 연산자 가 아니다.
여기서 k n {\displaystyle k_{n}} 은 포논의 양자화된 파수 이다. 주기적 경계 조건에 따라 파수는 다음과 같이 양자화 된다.
k n = 2 n π N a {\displaystyle k_{n}={\frac {2n\pi }{Na}}} ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . , ± N / 2 {\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm N/2} ). Q {\displaystyle Q} 와 Π {\displaystyle \Pi } 는 다음과 같이 정준 교환자 관계를 만족한다.
[ Q k , Π k ′ ] = i ℏ δ k , k ′ {\displaystyle [Q_{k},\Pi _{k'}]=i\hbar \delta _{k,k'}} [ Q k , Q k ′ ] = 0 {\displaystyle [Q_{k},Q_{k'}]=0} [ Π k , Π k ′ ] = 0 {\displaystyle [\Pi _{k},\Pi _{k'}]=0} .여기서 δ k , k ′ {\displaystyle \delta _{k,k'}} 는 크로네커 델타 이다.
이 연산자를 이용하여 원래 해밀토니언 을 파수 공간에서 다음과 같이 쓸 수 있다.
H = 1 2 m ∑ k ( Π k Π − k + m 2 ω k 2 Q k Q − k ) {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)} . 1차원 격자의 분산 관계 ω ( k ) {\displaystyle \omega (k)} 여기서
ω k = ω 0 2 ( 1 − cos ( k a ) ) = 2 ω 0 | sin ( k a / 2 ) | {\displaystyle \omega _{k}=\omega _{0}{\sqrt {2(1-\cos(ka))}}=2\omega _{0}|\sin(ka/2)|} 이다. 이 관계식을 포논의 분산 관계 라고 한다.
이제 해밀토니언 의 에너지 준위 가 다음과 같음을 알 수 있다.
E = ∑ k ( 1 / 2 + n k ) ℏ ω k {\displaystyle E=\sum _{k}(1/2+n_{k})\hbar \omega _{k}} ( n k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n_{k}=0,1,2,\dots } ).따라서 각 파수 k {\displaystyle k} 에 대하여 에너지가 ℏ ω k {\displaystyle \hbar \omega _{k}} 의 단위로 양자화 되는 것을 알 수 있다. 이 양자를 포논이라고 한다.
여기서는 주기적 경계 조건을 부여한 1차원 격자를 다뤘지만, 더 높은 차원에서도 유사하게 포논의 존재를 유도할 수 있다.
같이 보기
참고 문헌 Mahan, GD (1981). 《Many Particle Physics》. New York: Springer. ISBN 0306463385 .