사슬 호모토피 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 두 (공)사슬 복합체 C {\displaystyle C} , D {\displaystyle D} 사이의 두 (공)사슬 사상 f , g : C → D {\displaystyle f,g\colon C\to D} 사이의 (공)사슬 호모토피 (영어 : (co)chain homotopy )는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치 이다.
같은 정의역 과 공역 을 갖는 두 (공)사슬 사상 사이에 (공)사슬 호모토피가 존재한다면, 이를 서로 호모토픽 한 (공)사슬 사상이라고 한다. 호모토픽 관계는 동치 관계 이다. 모든 원소를 0으로 대응시키는 상수 (공)사슬 사상 0 ∈ hom Ch ( A ) ( C , D ) {\displaystyle 0\in \hom _{\operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})}(C,D)} 과 호모토픽한 (공)사슬 사상은 널호모토픽 (공)사슬 사상이라고 한다.
호모토픽 관계는 사슬 사상 집합의 아벨 군 구조와 호환되며, 특히 널호모토픽한 사슬 사상들의 부분 집합은 부분군 을 이룬다. 두 사슬 사상 f , g : C → D {\displaystyle f,g\colon C\to D} 이 서로 호모토픽하다는 것은 두 사슬 사상의 차 f − g {\displaystyle f-g} 가 널호모토픽하다는 것과 동치 이다. 사슬 사상 집합의 호모토픽 관계에 대한 동치류 들은 모든 사슬 사상들로 구성된 아벨 군 의, 널호모토픽 사슬 사상으로 구성된 부분군 에 대한 몫군 이다.
사슬 복합체를 대상으로 하고, 사슬 사상의 호모토피류를 사상으로 하는 범주를 사슬 복합체 호모토피 범주 (영어 : homotopy category of chain complexes ) K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} 라고 한다. 이 범주에서 약한 동치를 국소화 하면 유도 범주 D ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 를 얻는다.
사슬 호모토피의 구체적 정의 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 두 사슬 복합체 C {\displaystyle C} , D {\displaystyle D} 사이의 두 사슬 사상 f , g : C → D {\displaystyle f,g\colon C\to D} 사이의 사슬 호모토피 h : f ⇒ g {\displaystyle h\colon f\Rightarrow g} 는 다음과 같은 같은 데이터로 주어진다.
각 i ∈ Z {\displaystyle i\in \mathbb {Z} } 에 대하여, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 사상 h i : C i → D i + 1 {\displaystyle h_{i}\colon C_{i}\to D_{i+1}} . (※이는 사슬 사상 C [ 1 ] → D {\displaystyle C[1]\to D} 를 일반적으로 이루지 않는다.) 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
f i − g i = ∂ i D ∘ h i + h i − 1 ∘ ∂ i C {\displaystyle f_{i}-g_{i}=\partial _{i}^{D}\circ h_{i}+h_{i-1}\circ \partial _{i}^{C}} 이를 공사슬 복합체의 언어로 번역하면 다음과 같다. 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 두 공사슬 복합체 C ∙ {\displaystyle C^{\bullet }} , D ∙ {\displaystyle D^{\bullet }} 사이의 두 공사슬 사상 f , g : C ∙ → D ∙ {\displaystyle f,g\colon C^{\bullet }\to D^{\bullet }} 사이의 공사슬 호모토피 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
각 i ∈ Z {\displaystyle i\in \mathbb {Z} } 에 대하여, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 사상 h i : C i → D i − 1 {\displaystyle h^{i}\colon C^{i}\to D^{i-1}} 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
f i − g i = d D i − 1 ∘ h i + h i + 1 ∘ d C i {\displaystyle f^{i}-g^{i}=\mathrm {d} _{D}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ \mathrm {d} _{C}^{i}}
사슬 호모토피의 추상적 정의 (왼쪽 호모토피) 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 사슬 복합체 C {\displaystyle C} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 기둥 사슬 복합체 (영어 : cylinder chain complex )를 정의하자.
Cyl ( C ) ∙ ∈ Ch ( A ) {\displaystyle \operatorname {Cyl} (C)_{\bullet }\in \operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})} Cyl ( C ) n = C n ⊕ C n ⊕ C n − 1 {\displaystyle \operatorname {Cyl} (C)_{n}=C_{n}\oplus C_{n}\oplus C_{n-1}} ∂ n Cyl ( C ) : C n ⊕ C n ⊕ C n − 1 → C n − 1 ⊕ C n − 1 ⊕ C n − 2 {\displaystyle \partial _{n}^{\operatorname {Cyl} (C)}\colon C_{n}\oplus C_{n}\oplus C_{n-1}\to C_{n-1}\oplus C_{n-1}\oplus C_{n-2}} ∂ n Cyl ( C ) = ( ∂ n C 0 1 0 ∂ n − 1 C − 1 0 0 − ∂ n − 2 C ) {\displaystyle \partial _{n}^{\operatorname {Cyl} (C)}={\begin{pmatrix}\partial _{n}^{C}&0&1\\0&\partial _{n-1}^{C}&-1\\0&0&-\partial _{n-2}^{C}\end{pmatrix}}} (여기서 2×2 행렬은 2×1 열벡터 위에 작용하며, 열벡터의 첫 성분은 C n {\displaystyle C_{n}} , 둘째 성분은 C n − 1 {\displaystyle C_{n-1}} 이다. 마찬가지로, 행렬을 곱하여 얻는 열벡터의 첫 성분은 C n − 1 {\displaystyle C_{n-1}} , 둘째 성분은 C n − 2 {\displaystyle C_{n-2}} 이다.)
여기에는 자연스러운 포함 사상
ι , ι ′ : C → Cyl ( C ) {\displaystyle \iota ,\iota '\colon C\to \operatorname {Cyl} (C)} ι = ( 1 0 0 ) {\displaystyle \iota ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}} ι ′ = ( 0 1 0 ) {\displaystyle \iota '={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}} 이 주어진다.
임의의 두 사슬 복합체 C {\displaystyle C} , D {\displaystyle D} 사이의 두 사슬 사상 f , g : C → D {\displaystyle f,g\colon C\to D} 사이의 사슬 호모토피 는 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상 h : Cyl ( C ) → D {\displaystyle h\colon \operatorname {Cyl} (C)\to D} 이다.
C → ι Cyl ( C ) ← ι ′ C ‖ h ↓ h ‖ C → f D ← g C {\displaystyle {\begin{matrix}C&{\overset {\iota }{\to }}&\operatorname {Cyl} (C)&{\overset {\iota '}{\leftarrow }}&C\\\|&&{\color {White}\scriptstyle h}\downarrow {\scriptstyle h}&&\|\\C&{\underset {f}{\to }}&D&{\underset {g}{\leftarrow }}&C\\\end{matrix}}} (이 정의는 사슬 복합체의 모형 범주 에서의 왼쪽 호모토피 의 정의를 풀어 쓴 것이다.)
사슬 호모토피의 추상적 정의 (오른쪽 호모토피) 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 속의 사슬 복합체 D {\displaystyle D} 가 주어졌을 때, 다음과 같은 경로 사슬 복합체 (經路사슬複合體, 영어 : path chain complex )를 정의하자.
Path n ( D ) = D n ⊕ D n ⊕ D n + 1 {\displaystyle \operatorname {Path} _{n}(D)=D_{n}\oplus D_{n}\oplus D_{n+1}} ∂ n Path ( D ) = ( ∂ n D 0 ( − ) n 0 ∂ n D ( − ) n + 1 0 0 ∂ n + 1 D ) {\displaystyle \partial _{n}^{\operatorname {Path} (D)}={\begin{pmatrix}\partial _{n}^{D}&0&(-)^{n}\\0&\partial _{n}^{D}&(-)^{n+1}\\0&0&\partial _{n+1}^{D}\end{pmatrix}}} 여기에는 자연스러운 사상
π , π ′ : Path ( D ) → D {\displaystyle \pi ,\pi '\colon \operatorname {Path} (D)\to D} π = ( 1 0 0 ) {\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}} π ′ = ( 0 1 0 ) {\displaystyle \pi '={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}} 이 존재한다.
임의의 두 사슬 복합체 C {\displaystyle C} , D {\displaystyle D} 사이의 두 사슬 사상 f , g : C → D {\displaystyle f,g\colon C\to D} 사이의 사슬 호모토피 는 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상 h : C → Path ( D ) {\displaystyle h\colon C\to \operatorname {Path} (D)} 이다.
D ← f C → g D ‖ h ↓ h ‖ D ← π Path ( D ) → π ′ D {\displaystyle {\begin{matrix}D&{\overset {f}{\leftarrow }}&C&{\overset {g}{\to }}&D\\\|&&{\color {White}\scriptstyle h}\downarrow {\scriptstyle h}&&\|\\D&{\underset {\pi }{\leftarrow }}&\operatorname {Path} (D)&{\underset {\pi '}{\to }}&D\\\end{matrix}}} (이 정의는 사슬 복합체의 모형 범주 에서의 오른쪽 호모토피 의 정의를 풀어 쓴 것이다.)
구간 사슬 복합체를 통한 사슬 호모토피의 정의 가군 범주에서, 위 정의는 다음과 같이 더 깔끔하게 표현될 수 있다. A = A Mod A = A ⊗ K A Mod {\displaystyle {\mathcal {A}}={}_{A}\operatorname {Mod} _{A}={}_{A\otimes _{K}A}\operatorname {Mod} } 가 어떤 가환환 K {\displaystyle K} 위의 결합 대수 A {\displaystyle A} 위의 ( A , A ) {\displaystyle (A,A)} -쌍가군 들의 아벨 범주 라고 하자. 이제, 다음과 같은 구간 사슬 복합체 (영어 : interval chain complex ) I ∙ {\displaystyle I_{\bullet }} 를 정의할 수 있다.
I n = { 0 n ∉ { 0 , 1 } A n = 1 A ⊕ A n = 0 {\displaystyle I_{n}={\begin{cases}0&n\not \in \{0,1\}\\A&n=1\\A\oplus A&n=0\end{cases}}} ∂ 1 : A → A ⊕ A {\displaystyle \partial _{1}\colon A\to A\oplus A} ∂ 1 = ( 1 − 1 ) {\displaystyle \partial _{1}={\binom {1}{-1}}} 또한, 자명한 사슬 복합체
1 n = { 0 n ≠ 0 A n = 0 {\displaystyle 1_{n}={\begin{cases}0&n\neq 0\\A&n=0\end{cases}}} 을 정의하자. (이는 텐서곱의 항등원이다.) 그렇다면, 두 개의 자명한 사슬 사상
( 1 0 ) , ( 0 1 ) : 1 ∙ → I ∙ {\displaystyle {\binom {1}{0}},{\binom {0}{1}}\colon 1_{\bullet }\to I_{\bullet }} 이 존재한다. (기호 ( 1 0 ) {\displaystyle \textstyle {\binom {1}{0}}} 와 ( 0 1 ) {\displaystyle \textstyle {\binom {0}{1}}} 는 등급 0의 성분의 2×1행렬 표현이다.) 이제,
Cyl ∙ ( C ) = I ⊗ ∙ C {\displaystyle \operatorname {Cyl} _{\bullet }(C)=I\otimes _{\bullet }C} Path ∙ ( D ) = hom ∙ ( I , D ) {\displaystyle \operatorname {Path} _{\bullet }(D)=\hom _{\bullet }(I,D)} 임을 쉽게 확인할 수 있다.
그렇다면, 사슬 사상 f , g : C → C {\displaystyle f,g\colon C\to C} 사이의 사슬 호모토피 는 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상
h : I ⊗ C → D {\displaystyle h\colon I\otimes C\to D} 이다.
1 ⊗ C → ( 1 0 ) I ⊗ C ← ( 0 1 ) 1 ⊗ C ‖ h ↓ h ‖ C → f D ← g C {\displaystyle {\begin{matrix}1\otimes C&{\overset {\binom {1}{0}}{\to }}&I\otimes C&{\overset {\binom {0}{1}}{\leftarrow }}&1\otimes C\\\|&&{\color {White}\scriptstyle h}\downarrow {\scriptstyle h}&&\|\\C&{\underset {f}{\to }}&D&{\underset {g}{\leftarrow }}&C\\\end{matrix}}}
유도 범주의 일반적 정의 아벨 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 가 있다고 하자. 그렇다면, 그 유도 범주 D ( C ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {C}})} 는 다음과 같은 범주이다.
D ( C ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {C}})} 의 대상들은 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 사슬 복합체 들이다. 즉, 대상들은 사슬 복합체의 범주 Comp ( C ) {\displaystyle \operatorname {Comp} ({\mathcal {C}})} 와 같다. D ( C ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {C}})} 의, 사슬 복합체 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} , D ∙ {\displaystyle D_{\bullet }} 사이의 사상은 C ∙ ← q ∙ E ∙ → f ∙ D ∙ {\displaystyle C_{\bullet }{\xleftarrow {q_{\bullet }}}E_{\bullet }{\xrightarrow {f_{\bullet }}}D_{\bullet }} 와 같은 꼴의 두 사슬 사상들 q ∙ : E ∙ → C ∙ {\displaystyle q_{\bullet }\colon E_{\bullet }\to C_{\bullet }} , f ∙ : E ∙ → D ∙ {\displaystyle f_{\bullet }\colon E_{\bullet }\to D_{\bullet }} 의 순서쌍 ( q ∙ , f ∙ ) = f ∙ q ∙ − 1 {\displaystyle (q_{\bullet },f_{\bullet })=f_{\bullet }q_{\bullet }^{-1}} 의 동치류 이다. 여기서 q ∙ : E ∙ → C ∙ {\displaystyle q_{\bullet }\colon E_{\bullet }\to C_{\bullet }} 은 유사동형 (영어 : quasi-isomorphism )이다. 즉, q ∙ {\displaystyle q_{\bullet }} 로 유도되는, 호몰로지 사이의 사상 q ∙ ∗ : H ∙ ( E ) → H ∙ ( C ) {\displaystyle q_{\bullet }^{*}\colon H_{\bullet }(E)\to H_{\bullet }(C)} 이 동형사상 이다. f ∙ : E ∙ → D ∙ {\displaystyle f_{\bullet }\colon E_{\bullet }\to D_{\bullet }} 는 임의의 사슬 사상이다.서로 다른 두 순서쌍 f ∙ q − 1 {\displaystyle f_{\bullet }q^{-1}} , f ∙ ′ q ′ − 1 {\displaystyle f'_{\bullet }q'^{-1}} 가 서로 호모토픽 하다면 서로 동치라고 한다. 즉, 만약 C ∙ ← q ∙ E ∙ → f ∙ D ∙ {\displaystyle C_{\bullet }{\xleftarrow {q_{\bullet }}}E_{\bullet }{\xrightarrow {f_{\bullet }}}D_{\bullet }} 와 C ∙ ← q ∙ ′ E ∙ ′ → f ∙ ′ D ∙ {\displaystyle C_{\bullet }{\xleftarrow {q'_{\bullet }}}E'_{\bullet }{\xrightarrow {f'_{\bullet }}}D_{\bullet }} 가 다음을 만족시킨다면, 같은 동치류에 속한다. E ∙ = E ∙ ′ {\displaystyle E_{\bullet }=E'_{\bullet }} f ∙ {\displaystyle f_{\bullet }} 와 f ∙ ′ {\displaystyle f'_{\bullet }} 는 서로 호모토픽하다. q ∙ {\displaystyle q_{\bullet }} 와 q ∙ ′ {\displaystyle q'_{\bullet }} 는 서로 호모토픽하다. 이 정의는 다음과 같은, 집합론 적인 문제를 야기한다.
만약 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 국소적으로 작은 범주 라면 (즉, 두 대상 사이의 모든 사상들이 집합 을 이룬다면), 그 유도 범주는 국소적으로 작은 범주 가 되지 못할 수 있다. 만약 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 국소적으로 작은 범주 가 아닐 수 있다면 (즉, 두 대상 사이의 모든 사상들이 모임 을 이룬다면), 그 유도 범주의 경우 두 대상 사이의 사상들이 심지어 모임 을 이루지 못할 수 있다.
유도 범주의 모형 범주 이론을 통한 정의 일부 아벨 범주 의 경우, 모형 범주 의 이론을 통해 집합론적인 문제를 피할 수 있다. 구체적으로, 만약 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의 사슬 복합체 범주 Ch ∙ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 위에, 다음 조건을 만족시키는 모형 범주 구조가 존재한다면, 그 호모토피 범주 로서 유도 범주를 구성할 수 있다.
사영 모형 구조를 통한 정의 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 Ch ≥ 0 ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 음이 아닌 차수 유도 범주 D ≥ 0 ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 는 Ch ∙ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 의 위 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주 이다. 즉, 다음과 같다.
D ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 의 대상은 모든 성분이 사영 대상 인 사슬 복합체 이다.두 사슬 복합체 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} , D ∙ {\displaystyle D_{\bullet }} 사이의 D ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} -사상은 그 사이의 사슬 사상 의 (사슬 호모토피에 대한) 호모토피류 이다. 이 경우, 다음과 같은 함자 를 정의할 수 있다.
F : Ch ∙ ( A ) → D ≥ 0 ( A ) {\displaystyle F\colon \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 이는 구체적으로 다음과 같다.
F {\displaystyle F} 는 사슬 복합체 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} 를 이와 유사동형 이며, 사영 대상 만으로 구성된 사슬 복합체 C ^ ∙ {\displaystyle {\hat {C}}_{\bullet }} 로 대응시킨다. 이 유사동형을 s C : C ^ ∙ → C ∙ {\displaystyle s_{C}\colon {\hat {C}}_{\bullet }\to C_{\bullet }} 라고 하자. F {\displaystyle F} 는 두 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 f : C ∙ → D ∙ {\displaystyle f\colon C_{\bullet }\to D_{\bullet }} 를, f ∘ s C = s D ∘ f ^ {\displaystyle f\circ s_{C}=s_{D}\circ {\hat {f}}} 인 f ^ : C ^ ∙ → D ^ ∙ {\displaystyle {\hat {f}}\colon {\hat {C}}_{\bullet }\to {\hat {D}}_{\bullet }} 로 대응시킨다.
단사 모형 구조를 통한 정의 마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 Ch ≥ 0 ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})} 에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 의 유도 범주 D ≥ 0 ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})} 는 Ch ∙ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} ^{\bullet }({\mathcal {A}})} 의 위 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주 이다. 즉, 다음과 같다.
D ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 의 대상은 모든 성분이 단사 대상 인 공사슬 복합체 이다.두 공사슬 복합체 C ∙ {\displaystyle C^{\bullet }} , D ∙ {\displaystyle D^{\bullet }} 사이의 D ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} -사상은 그 사이의 사슬 사상 의 (공사슬 호모토피에 대한) 호모토피류 이다. 이 경우, 다음과 같은 함자 를 정의할 수 있다.
F : Ch ∙ ( A ) → D ≥ 0 ( A ) {\displaystyle F\colon \operatorname {Ch} ^{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ^{\geq 0}({\mathcal {A}})} 이는 구체적으로 다음과 같다.
F {\displaystyle F} 는 공사슬 복합체 C ∙ {\displaystyle C^{\bullet }} 를 이와 유사동형 이며, 단사 대상 만으로 구성된 공사슬 복합체 C ^ ∙ {\displaystyle {\hat {C}}^{\bullet }} 로 대응시킨다. 이 유사동형 을 r C : C ∙ → C ^ ∙ {\displaystyle r_{C}\colon C^{\bullet }\to {\hat {C}}^{\bullet }} 라고 하자. F {\displaystyle F} 는 두 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 f : C ∙ → D ∙ {\displaystyle f\colon C^{\bullet }\to D^{\bullet }} 를, r D ∘ f = f ^ ∘ r C {\displaystyle r_{D}\circ f={\hat {f}}\circ r_{C}} 인 f ^ : C ^ ∙ → D ^ ∙ {\displaystyle {\hat {f}}\colon {\hat {C}}^{\bullet }\to {\hat {D}}^{\bullet }} 로 대응시킨다.
비(非)유계 차수 유도 범주 위의 두 구성은 유도 범주 D ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 의 특별한 부분 범주 D ≤ 0 ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} _{\leq 0}({\mathcal {A}})} , D ≥ 0 ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} _{\geq 0}({\mathcal {A}})} 들을 정의한다. 만약 모든 정수 등급을 가질 수 있는 유도 범주 D ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})} 를 정의하려면, 다음과 같은 경우들이 알려져 있다.
만약 아벨 범주 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 가 그로텐디크 아벨 범주 라면, 모든 사슬 복합체 의 범주 Ch ∙ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})} 위에, 그 유도 범주를 호모토피 범주 로 갖는 모형 범주 구조가 존재한다.[3] :Proposition 3.13 이는 단사 모형 구조 (영어 : injective model structure )라고 한다.[4] :2441 그러나 이 모형 구조는 대체로 텐서곱 과 잘 호환되지 못한다. 예를 들어, 가환환 위의 가군 범주의 사슬 복합체 범주에 단사 모형 구조를 부여하면, 이는 모노이드 모형 범주를 이루지 못한다. 환 K {\displaystyle K} 위의 왼쪽 가군 의 범주 R Mod {\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} } 위에는 다음과 같은 표준 모형 구조 (영어 : standard model structure )라는 모형 범주 구조가 존재한다.[5] :41, Definition 2.3.3 개념 사상 f : C ∙ → D ∙ {\displaystyle f\colon C_{\bullet }\to D_{\bullet }} 에 대한 정의 약한 동치 유사동형 : f ∗ : H ∙ ( C ) → H ∙ ( D ) {\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {H} _{\bullet }(C)\to \operatorname {H} _{\bullet }(D)} 는 사슬 복합체 의 동형올뭉치 모든 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여, f n {\displaystyle f_{n}} 이 전사 함수 [5] :41, Proposition 2.3.4 자명한 쌍대올뭉치 ker ∙ f {\displaystyle \ker _{\bullet }f} 가 사영 대상 인 사슬 복합체 이며, 모든 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 f n {\displaystyle f_{n}} 이 단사 함수 [5] :44, Proposition 2.3.10
또한, 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환 이라면 이는 텐서곱에 대하여 모노이드 모형 범주를 이룬다.[5] :111, Proposition 4.2.13 특별한 환 달린 공간 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 위의 가군층 아벨 범주 Mod O X {\displaystyle \operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}} 의 사슬 복합체 범주 위에는 (텐서곱에 대한) 모노이드 모형 범주 구조가 존재한다.[5] :1452–1453, Corollary 3.7 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 가 콤팩트 공간 인 분리 스킴 일 때, 그 위의 준연접층 의 아벨 범주 QCoh ( X ) {\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)} 위의 사슬 복합체 범주 Ch ∙ ( QCoh ( X ) ) {\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }(\operatorname {QCoh} (X))} 위에는 (텐서곱에 대한) 모노이드 모형 범주 구조가 존재한다.[6]