정의
반아핀 변환 체 K {\displaystyle K} 위의 두 벡터 공간 V {\displaystyle V} , V ′ {\displaystyle V'} 및 자기 동형 사상 σ : K → K {\displaystyle \sigma \colon K\to K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 σ {\displaystyle \sigma } 에 대한 반선형 변환 (半線型變換, 영어 : semilinear transformation )은 다음 조건을 만족시키는 함수 T : V → V ′ {\displaystyle T\colon V\to V'} 이다.
T ( k u + v ) = σ ( k ) T ( u ) + T ( v ) ∀ u , v ∈ V , k ∈ K {\displaystyle T(ku+v)=\sigma (k)T(u)+T(v)\qquad \forall u,v\in V,\;k\in K} 체 K {\displaystyle K} 위의 두 아핀 공간 ( A , V ( A ) ) {\displaystyle (A,V(A))} , ( A ′ , V ( A ′ ) ) {\displaystyle (A',V(A'))} 및 자기 동형 사상 σ : K → K {\displaystyle \sigma \colon K\to K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 F : A → A ′ {\displaystyle F\colon A\to A'} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 함수를 σ {\displaystyle \sigma } 에 대한 반아핀 변환 (半-變換, 영어 : semiaffine transformation )이라고 한다.
어떤 점 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, v ↦ F ( a + v ) − F ( a ) {\displaystyle v\mapsto F(a+v)-F(a)} 는 σ {\displaystyle \sigma } 에 대한 반선형 변환 V ( A ) → V ( A ′ ) {\displaystyle V(A)\to V(A')} 이다. 모든 점 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, v ↦ F ( a + v ) − F ( a ) {\displaystyle v\mapsto F(a+v)-F(a)} 는 σ {\displaystyle \sigma } 에 대한 반선형 변환 V ( A ) → V ( A ′ ) {\displaystyle V(A)\to V(A')} 이다. 반아핀 변환 F {\displaystyle F} 로 유도된 반선형 변환
T ( F ) : V ( A ) → V ( A ′ ) {\displaystyle T(F)\colon V(A)\to V(A')} T ( F ) : v ↦ F ( a + v ) − F ( a ) {\displaystyle T(F)\colon v\mapsto F(a+v)-F(a)} 는 점 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 의 선택과 무관하며, 임의의 a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
F ( b ) = F ( a ) + T ( F ) ( b − a ) {\displaystyle F(b)=F(a)+T(F)(b-a)} 벡터 표기법을 사용하면 이는 다음과 같다.
F → ( a b → ) = F ( a ) F ( b ) → {\displaystyle {\overrightarrow {F}}({\overrightarrow {ab}})={\overrightarrow {F(a)F(b)}}} 여기서
T ( F ) = F → {\displaystyle T(F)={\overrightarrow {F}}} b − a = a b → {\displaystyle b-a={\overrightarrow {ab}}} 이다.
아핀 변환 선형 변환 은 항등 함수 σ = id K {\displaystyle \sigma =\operatorname {id} _{K}} 에 대한 반선형 변환이다.
아핀 변환 은 항등 함수 σ = id K {\displaystyle \sigma =\operatorname {id} _{K}} 에 대한 반아핀 변환이다. 즉, T ( F ) {\displaystyle T(F)} 가 선형 변환 인 반아핀 변환이다.
성질 모든 반아핀 변환은 공선점 과 평행 부분 아핀 공간 을 보존한다. 모든 아핀 변환은 무게 중심 를 보존하며, 특히 중점 을 보존한다.
대수적 성질 체 K {\displaystyle K} 위의 아핀 공간 ( A , V ( A ) ) {\displaystyle (A,V(A))} 와 벡터 공간 V ′ {\displaystyle V'} 사이의 아핀 변환의 집합 Hom K ( A , V ′ ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(A,V')} 은 자연스럽게 벡터 공간을 이룬다. 체 K {\displaystyle K} 위의 두 아핀 공간 ( A , V ( A ) ) {\displaystyle (A,V(A))} , ( A ′ , V ( A ′ ) ) {\displaystyle (A',V(A'))} 사이의 아핀 변환의 집합 Hom K ( A , A ′ ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(A,A')} 은 자연스러운 아핀 공간 구조를 가지며, 그 기본 벡터 공간과 차원은 다음과 같다.
V ( Hom K ( A , A ′ ) ) = Hom K ( A , V ( A ′ ) ) {\displaystyle V(\operatorname {Hom} _{K}(A,A'))=\operatorname {Hom} _{K}(A,V(A'))} dim ( Hom K ( A , A ′ ) ) = dim A ′ ( dim A + 1 ) {\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} _{K}(A,A'))=\dim A'(\dim A+1)}
아핀 군 아핀 변환 F : A → A ′ {\displaystyle F\colon A\to A'} 및 G : A ′ → A ″ {\displaystyle G\colon A'\to A''} 에 대하여, 합성 G ∘ F : A → A ″ {\displaystyle G\circ F\colon A\to A''} 역시 아핀 변환이다. 전단사 아핀 변환 F : A → A ′ {\displaystyle F\colon A\to A'} 에 대하여, 역함수 F − 1 : A ′ → A {\displaystyle F^{-1}\colon A'\to A} 역시 아핀 변환이다. 특히, 아핀 공간 ( A , V ( A ) ) {\displaystyle (A,V(A))} 위의 전단사 아핀 변환들의 집합은 군 을 이루며, 이를 아핀 군 Aff ( A ) {\displaystyle \operatorname {Aff} (A)} 라고 한다. 아핀 군은 평행 이동 들의 벡터 공간 V ( A ) {\displaystyle V(A)} 와 그 일반 선형군 GL ( V ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V(A))} 의 반직접곱 과 동형 이다.
Aff ( A ) ≅ V ( A ) ⋊ GL ( V ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {Aff} (A)\cong V(A)\rtimes \operatorname {GL} (V(A))} 만약 A {\displaystyle A} 가 벡터 공간 일 경우 위 동형은 자연스럽다.
유한 차원
아핀 기하학의 기본 정리 아핀 기하학의 기본 정리 (-畿何學-基本定理, 영어 : fundamental theorem of affine geometry )에 따르면, 체 K {\displaystyle K} 위의 유한 d ≠ 1 {\displaystyle d\neq 1} 차원 아핀 공간 A {\displaystyle A} 위의 전단사 함수 F : A → A {\displaystyle F\colon A\to A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
공선점 을 보존한다. 즉, 만약 a , b , c ∈ A {\displaystyle a,b,c\in A} 가 공선점 이라면, F ( a ) , F ( b ) , F ( c ) ∈ A {\displaystyle F(a),F(b),F(c)\in A} 역시 공선점 이다.반아핀 변환이다. 특히, 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 자기 동형 사상 은 항등 함수 밖에 없으므로, 유한 d ≠ 1 {\displaystyle d\neq 1} 차원 실수 아핀 공간 A {\displaystyle A} 위의 전단사 함수 F : A → A {\displaystyle F\colon A\to A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
마찬가지로, 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 의 연속 자기 동형 사상 은 항등 함수 와 켤레 복소수 z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}} 밖에 없으므로 (비(非)연속 자기 동형 사상은 그 밖에도 존재한다), 유한 d ≠ 1 {\displaystyle d\neq 1} 차원 복소수 아핀 공간 A {\displaystyle A} 위의 연속 전단사 함수 F : A → A {\displaystyle F\colon A\to A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
1차원에서는 모든 함수가 공선점 을 보존하므로 일반적으로 아핀 기하학의 기본 정리가 성립하지 않는다.
행렬 표현 체 K {\displaystyle K} 위의 두 유한 n {\displaystyle n} , m {\displaystyle m} 차원 아핀 공간 ( A , V ( A ) ) {\displaystyle (A,V(A))} , ( A ′ , V ( A ′ ) ) {\displaystyle (A',V(A'))} 사이의 아핀 변환 F : A → A ′ {\displaystyle F\colon A\to A'} 은 아핀 틀 ( o , B ) {\displaystyle (o,B)} , ( o ′ , B ′ ) {\displaystyle (o',B')} 에 대하여 다음과 같은 꼴의 행렬 로 표현할 수 있다.
M ( o , B ) , ( o ′ , B ′ ) ( F ) = ( 1 0 1 × n a m × 1 M B , B ′ ( T ( F ) ) m × n ) {\displaystyle M_{(o,B),(o',B')}(F)={\begin{pmatrix}1&0_{1\times n}\\a_{m\times 1}&{M_{B,B'}(T(F))}_{m\times n}\end{pmatrix}}} 여기서 M B , B ′ ( T ( F ) ) {\displaystyle M_{B,B'}(T(F))} 는 기저 B {\displaystyle B} , B ′ {\displaystyle B'} 에 대한 T ( F ) {\displaystyle T(F)} 의 행렬 이다.
특히, 유한 차원 아핀 군 Aff ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Aff} (n;K)} 는 일반선형군 GL ( n + 1 ; K ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n+1;K)} 의 부분군 으로 여길 수 있다.
유클리드 공간 유클리드 공간 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 위의 아핀 변환은 모든 도형의 초부피를 일정한 비율로 변화시키며, 이 비율은 유도된 선형 변환의 행렬식 의 절댓값 과 같다. 다시 말해, R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 위의 르베그 측도 를 μ {\displaystyle \mu } 라고 할 때, 임의의 가측 집합 S ⊆ R d {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{d}} 및 아핀 변환 F : R d → R d {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}} 에 대하여, 다음이 성립한다.
μ ( F ( S ) ) = | det T ( F ) | μ ( S ) {\displaystyle \mu (F(S))=|{\det T(F)}|\mu (S)}
예 아핀 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.
모든 반선형 변환은 반아핀 변환이다. 모든 선형 변환 은 아핀 변환이다.
유클리드 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.
1차원 복소수 벡터 공간 C {\displaystyle \mathbb {C} } 위의 켤레 복소수 함수
C → C {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} } z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}} 는 반선형 변환이며, 특히 반아핀 변환이다.
같이 보기
각주
외부 링크