수족 삼각형
기하학에서 수족 삼각형(垂足三角形, 영어: pedal triangle)은 주어진 점에서 삼각형의 세 변에 내린 수선의 발들로 이루어진 삼각형이다.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Pedal_Triangle.svg/220px-Pedal_Triangle.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Pedal_Line.svg/220px-Pedal_Line.svg.png)
정의
점 에서 삼각형
의 세 변
,
,
에 내린 수선의 발을 각각
,
,
라고 하자. 만약
가 삼각형
의 외접원 위의 점이라면,
,
,
는 한 직선 위의 점이며, 이 직선을 삼각형
에 대한 점
의 심슨 직선이라고 한다. 만약
가 삼각형
의 외접원 위의 점이 아니라면,
,
,
는 한 직선 위의 점이 아니며, 이 경우 삼각형
를 점
에 대한 삼각형
의 수족 삼각형이라고 한다.
성질
점 에서 삼각형
의 세 변
,
,
에 내린 수선의 발을 각각
,
,
라고 하고, 삼각형
의 세 변의 길이를 각각
,
,
, 외접원의 반지름을
라고 하자. 그렇다면 사인 법칙에 따라 수족 삼각형
의 세 변의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]:23, §1.9, Theorem 1.91
점 에서 삼각형
의 세 변
,
,
에 내린 수선의 발을 각각
,
,
라고 하자. 그렇다면 수족 삼각형의 세 꼭짓점
,
,
가 원래 삼각형의 변을 나누는 길이는 다음 등식을 만족시킨다.[2]:85–86
등각 켤레점을 이루는 두 점에 대한 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 공통 외접원의 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다.[3]:67, §7.4, (viii)
같은 점에 대한 수족 삼각형의 수족 삼각형의 수족 삼각형은 원래 삼각형과 닮음이다. 즉, 점 에 대한 삼각형
의 수족 삼각형을
라고 하고, 같은 점
에 대한 삼각형
의 수족 삼각형을
라고 하고, 같은 점
에 대한 삼각형
의 수족 삼각형을
라고 하자. 그렇다면 삼각형
은 원래 삼각형
와 닮음이다.[1]:24, §1.9, Theorem 1.92 보다 일반적으로,
각형이 주어졌을 때, 같은 점에 대한
번째 수족
각형은 원래
각형과 닮음이다.[4]
증명:
마주보는 두 각이 직각인 사각형의 네 꼭짓점은 한 원 위의 점이므로, 원주각의 성질에 따라
이다. 따라서 이다. 마찬가지로
임을 보일 수 있다. 따라서 삼각형
와 삼각형
은 닮음이다.
반수족 삼각형
삼각형 및 점
가 주어졌다고 하자. 꼭짓점
,
,
를 지나는, 직선
,
,
의 평행선의 세 교점을
,
,
라고 하자. 만약 점
가 직선
또는
또는
위의 점이라면, 세 직선 가운데 한 쌍은 평행하며 세 교점
,
,
가운데 하나는 무한 원점이다. 만약 점
가 삼각형
의 외접원 위의 점이라면, 세 직선은 한 점
에서 만난다.[5]:225, §XII.360 만약 점
가 직선
또는
또는
위의 점이 아니며 삼각형
의 외접원 위의 점이 아니라면, 세 교점
,
,
는 삼각형의 꼭짓점을 이루며, 이 경우 삼각형
를 점
에 대한 삼각형
의 반수족 삼각형(反垂足三角形, 영어: antipedal triangle)이라고 한다. 이 경우 반수족 삼각형은 원래 삼각형을 수족 삼각형으로 하는 유일한 삼각형이다.
주어진 점에 대한 반수족 삼각형은 그 등각 켤레점에 대한 수족 삼각형과 중심 닮음이다.[5]:225, §XII.360
예
일부 특수한 점에 대한 수족 삼각형 또는 반수족 삼각형은 다음과 같다.
각주
외부 링크
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Pedal triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Pedal circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Antipedal triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Bogomolny, Alexander. “Pedal triangle and isogonal conjugacy”. 《Cut the Knot》 (영어).