수학 에서 연립 일차 방정식 (聯立一次方程式, 영어 : system of linear equations ) 또는 선형 방정식계 (線形方程式系)는 여러 개의 일차 방정식 으로 이루어진 연립 방정식 이다. 모든 일차 방정식을 만족시키는 변수값 튜플 을 해 로 한다. 기하학적 관점에서, 실수 계수 연립 일차 방정식의 해는 초평면 들의 교점과 같다. 연립 일차 방정식은 계수 행렬 과 첨가 행렬 을 사용하여 나타낼 수 있다. 연립 일차 방정식의 기본적인 해법은 가우스 소거법 이다. 연립 일차 방정식은 선형대수학 의 중요한 연구 대상이며, 많은 실제 문제의 모형이다.
정의 m {\displaystyle m} 개의 방정식으로 이루어진 n {\displaystyle n} 원 연립 일차 방정식 은 다음과 같은 꼴이다.
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 {\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}} a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 {\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}} a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + ⋯ + a 3 n x n = b 3 {\displaystyle a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+\cdots +a_{3n}x_{n}=b_{3}} ⋮ {\displaystyle \vdots } a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 + ⋯ + a m n x n = b m {\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}} 행렬 곱셈의 정의에 의하여, 이는 다음과 동치이다.
( a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 n a 21 a 22 a 23 ⋯ a 2 n a 31 a 32 a 33 ⋯ a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 a m 3 ⋯ a m n ) ( x 1 x 2 x 3 ⋮ x n ) = ( b 1 b 2 b 3 ⋮ b m ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}} 여기에 쓰인 세 행렬을 왼쪽부터 차례대로 A m × n {\displaystyle A_{m\times n}} , x n × 1 {\displaystyle x_{n\times 1}} , b m × 1 {\displaystyle b_{m\times 1}} 라고 하면, 연립 일차 방정식은 다음과 같이 단순하게 쓸 수 있다.
A x = b {\displaystyle Ax=b} 이 경우, A {\displaystyle A} 를 이 연립 일차 방정식의 계수 행렬 , x {\displaystyle x} 를 해 벡터 (解-, 영어 : solution vector ), b {\displaystyle b} 를 소스 벡터 (영어 : source vector )라고 한다.[2] 또한, 계수 행렬 옆에 소스 벡터를 덧붙인 행렬 ( A | b ) {\displaystyle (A|b)} 를 첨가 행렬 이라고 한다.
연립 일차 방정식 A x = b {\displaystyle Ax=b} 가 b = 0 {\displaystyle b=0} 을 만족시키면, 동차 연립 일차 방정식 (同次聯立一次方程式, 영어 : homogeneous system of linear equations )이라고 하며, 반대로 b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} 을 만족시키면, 비동차 연립 일차 방정식 (非同次聯立一次方程式, 영어 : non-homogeneous system of linear equations )이라고 한다.
풀이 계수를 체 K {\displaystyle K} 에서 취하는 연립 일차 방정식 A x = b {\displaystyle Ax=b} 의 해의 집합은 공집합 이거나, K {\displaystyle K} -벡터 공간 의 잉여류 x 0 + ker A ⊂ K n {\displaystyle x_{0}+\ker A\subset K^{n}} 를 이룬다. (여기서 x 0 {\displaystyle x_{0}} 은 임의의 고정된 해이며, ker {\displaystyle \ker } 는 핵 이다.) 특히, 동차 연립 일차 방정식의 해들은 K {\displaystyle K} -벡터 공간 ker A ⊂ K n {\displaystyle \ker A\subset K^{n}} 을 이룬다.
구체적으로, 연립 일차 방정식 A x = b {\displaystyle Ax=b} 의 해는 존재하지 않을 수도, 유일할 수도, 수많을 수도 있는데, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
A x = b {\displaystyle Ax=b} 의 해는 존재한다. b ∈ im A {\displaystyle b\in \operatorname {im} A} (여기서 im {\displaystyle \operatorname {im} } 는 상 이다.) rank A = rank ( A | b ) {\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} (A|b)} (여기서 rank {\displaystyle \operatorname {rank} } 는 계수 이다.)또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
A x = b {\displaystyle Ax=b} 의 해는 유일하다. A {\displaystyle A} 는 가역 행렬 이다.특히, 동차 연립 일차 방정식은 영벡터 를 자명한 해로 가지며, 해가 영벡터뿐일 필요충분조건은 계수 행렬이 (정사각 ) 가역 행렬인 것이다. 보다 구체적으로, 해공간의 차원 은 다음과 같으며, 이를 계수-퇴화차수 정리 라고 한다.
dim ker A = n − rank A {\displaystyle \dim \ker A=n-\operatorname {rank} A}
가우스 소거법 가우스 소거법 은 가감법을 사용하여 연립 일차 방정식을 푸는 방법이다. 기본 행 연산 P {\displaystyle P} 를 통해 첨가 행렬
( A | b ) {\displaystyle (A|b)} 을 계수 행렬이 기약 행 사다리꼴 행렬 인 새로운 첨가 행렬
( P A | P b ) {\displaystyle (PA|Pb)} 로 변환시키면 된다.
크라메르 법칙 크라메르 법칙 은 방정식의 개수와 미지수의 개수가 같고, 계수 행렬이 가역 행렬 일 경우에 유일한 해를 구하는 공식이다. 이 유일한 해는 다음과 같다.
x = A − 1 b {\displaystyle x=A^{-1}b} 크라메르 법칙은 이를 다음과 같이 풀어쓴다.
x i = det A i det A i = 1 , … , n {\displaystyle x_{i}={\frac {\det A_{i}}{\det A}}\qquad i=1,\dots ,n} 여기서 A i {\displaystyle A_{i}} 는 A {\displaystyle A} 의 i {\displaystyle i} 째 열을 b {\displaystyle b} 로 대신하여 얻는 행렬이며, det {\displaystyle \det } 는 행렬식 이다.
같이 보기
각주
참고 문헌 Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8 .
외부 링크