삼각 치환

삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.^[1]:342

${\displaystyle R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}),\;R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}),\;R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})}$

여기서 ${\displaystyle R}$ 는 유리 함수이며 ${\displaystyle a>0}$ 이다. 이는 ${\displaystyle R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})}$ 의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 ${\displaystyle x}$ 를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.^{[2]:533[3]:51}

적분	치환				항등식
${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\mathrm {d} x}$	${\displaystyle x=a\sin \theta }$	${\displaystyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos \theta }$	${\displaystyle \mathrm {d} x=a\cos \theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta }$
	${\displaystyle x=a\cos \theta }$	${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\sin \theta }$	${\displaystyle \mathrm {d} x=-a\sin \theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle 1-\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta }$
${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\mathrm {d} x}$	${\displaystyle x=a\tan \theta }$	${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec \theta }$	${\displaystyle \mathrm {d} x=a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$
	${\displaystyle x=a\cot \theta }$	${\displaystyle 0<\theta <\pi }$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\csc \theta }$	${\displaystyle \mathrm {d} x=-a\csc ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$
${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\mathrm {d} x}$	${\displaystyle x=a\sec \theta }$	${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi \land \theta \neq \pi /2}$	${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}={\begin{cases}a\tan \theta &x>a\land 0\leq \theta <\pi /2\\-a\tan \theta &x<-a\land \pi /2<\theta \leq \pi \end{cases}}}$	${\displaystyle \mathrm {d} x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle \sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta }$
	${\displaystyle x=a\csc \theta }$	${\displaystyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2\land \theta \neq 0}$	${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}={\begin{cases}a\cot \theta &x>a\land 0<\theta \leq \pi /2\\-a\cot \theta &x<-a\land -\pi /2\leq \theta <0\end{cases}}}$	${\displaystyle \mathrm {d} x=-a\csc \theta \cot \theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle \csc ^{2}\theta -1=\cot ^{2}\theta }$

새 변수 ${\displaystyle \theta }$ 의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.^[2]:533 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.^{[1]:342[4]:482}

다음과 같은 적분을 구하자.^{[3]:49, Example 1[5]:249, 例6.2.8}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}$

여기서 ${\displaystyle a>0}$ 이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.

${\displaystyle x=a\sin \theta ,\;{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos \theta ,\;\mathrm {d} x=a\cos \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arcsin {\frac {x}{a}}}$

그러면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}$	${\displaystyle =\int {\frac {a\cos \theta \mathrm {d} \theta }{a\cos \theta }}}$	(치환)
	${\displaystyle =\int \mathrm {d} \theta }$	(단순화)
	${\displaystyle =\theta +C}$	(적분)
	${\displaystyle =\arcsin {\frac {x}{a}}+C}$	(재치환)

이 적분은 ${\displaystyle x/a=t}$ 와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{[5]:252, 例6.2.14}

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} x}$	${\displaystyle =\int a^{2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }$	(치환)
	${\displaystyle =\int {\frac {a^{2}}{2}}(1+\cos 2\theta )\mathrm {d} \theta }$	(삼각 항등식)
	${\displaystyle ={\frac {a^{2}}{2}}\theta +{\frac {a^{2}}{4}}\sin 2\theta +C}$	(적분)
	${\displaystyle ={\frac {a^{2}}{2}}\theta +{\frac {a^{2}}{2}}\sin \theta \cos \theta +C}$	(삼각 항등식)
	${\displaystyle ={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {a^{2}}{2}}\cdot {\frac {x}{a}}\cdot {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{a}}+C}$	(재치환)
	${\displaystyle ={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$	(단순화)

이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

다음을 구하자.^{[3]:48, Example 1}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}}}}$

여기서 ${\displaystyle a>0}$ 이다. 다음을 사용하자.

${\displaystyle x=a\tan \theta ,\;{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec \theta ,\;\mathrm {d} x=a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arctan {\frac {x}{a}}}$

그러면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}}}}$	${\displaystyle =\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}}$	(치환)
	${\displaystyle =\int {\frac {1}{a}}\mathrm {d} \theta }$	(단순화)
	${\displaystyle ={\frac {\theta }{a}}+C}$	(적분)
	${\displaystyle ={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}$	(재치환)

이 적분은 치환 ${\displaystyle x/a=t}$ 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{[5]:253, 例6.2.16}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}$	${\displaystyle =\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{a\sec \theta }}}$	(치환)
	${\displaystyle =\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }}}$	(단순화)
	${\displaystyle =\int {\frac {\cos \theta \mathrm {d} \theta }{\cos ^{2}\theta }}}$	(변형)
	${\displaystyle =\int {\frac {\mathrm {d} (\sin \theta )}{1-\sin ^{2}\theta }}}$	(치환)
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C}$	(적분)
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right|^{2}+C}$	(삼각 항등식)
	${\displaystyle =\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C}$	(삼각 항등식)
	${\displaystyle =\ln \left|{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{a}}+{\frac {x}{a}}\right|+C}$	(재치환)
	${\displaystyle =\ln \left|x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right|+C}$	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환 ${\displaystyle x=a\sinh t}$ 을 통해서도 구할 수 있다.

편의상 ${\displaystyle x>0}$ 이라고 하고 다음을 구하자.^{[3]:50, Example 1}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle a>0}$ 이다. 다음을 사용하자.

${\displaystyle x=a\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a|\tan \theta |,\;\mathrm {d} x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}}$

그러면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}}$	${\displaystyle =\int {\frac {a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta }{a^{2}\sec \theta |\tan \theta |}}}$	(치환)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} \theta }{a}}&x>a\\\displaystyle -\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{a}}&x<-a\end{cases}}}$	(단순화)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\theta }{a}}+C&x>a\\\displaystyle -{\frac {\theta }{a}}+C'&x<-a\end{cases}}}$	(적분)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{a}}\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+C&x>a\\\displaystyle -{\frac {1}{a}}\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+C'&x<-a\end{cases}}}$	(재치환)

이 적분은 치환 ${\displaystyle x/a=t}$ 및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{[5]:253, 例6.2.15}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}$	${\displaystyle =\int {\frac {a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta }{a|\tan \theta |}}}$	(치환)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }}&x>a\\\displaystyle -\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }}&x<-a\end{cases}}}$	(단순화)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle \ln |\sec \theta +\tan \theta |+C&x>a\\\displaystyle -\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C'&x<-a\end{cases}}}$	(적분)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle \ln \left|{\frac {x}{a}}+{\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}}\right|+C&x>a\\\displaystyle -\ln \left|{\frac {x}{a}}+{\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}}\right|+C'&x<-a\end{cases}}}$	(재치환)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle \ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C&x>a\\\displaystyle -\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C'&x<-a\end{cases}}}$	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환 ${\displaystyle x=a\cosh t}$ 를 통해서도 구할 수 있다.

다음과 같은 적분을 구하자.^{[2]:536, Example 4}

${\displaystyle \int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x}$

다음을 사용하자.

${\displaystyle x={\sqrt {3}}\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-3}}={\sqrt {3}}\tan \theta ,\;\mathrm {d} x={\sqrt {3}}\sec \theta \tan \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}}$

만약 ${\displaystyle x={\sqrt {3}}}$ 일 경우 ${\displaystyle \cos \theta =1}$ 이므로 ${\displaystyle \theta =0}$ 이며, 만약 ${\displaystyle x=2}$ 일 경우 ${\displaystyle \cos \theta ={\sqrt {3}}/2}$ 이므로 ${\displaystyle \theta =\pi /6}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}\tan ^{2}\theta \mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}(\sec ^{2}\theta -1)\mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}{\bigg [}\tan \theta -\theta {\bigg ]}_{0}^{\pi /6}\\&=1-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}\end{aligned}}}$

• 바이어슈트라스 치환

• 이철희. “삼각치환”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Trigonometric substitution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.