사차 방정식(Quartic equation)이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는
사차 함수의 그래프![{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,a\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105d5c7adcf2827b082b4e80ba5851d8a76b04c5)
와 같다.
여기에서
는 각각
의 계수라고 한다.
는 상수항이라고 부른다.
역사
페라리는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 삼차방정식을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 카르다노의 책에서 발표된다.
해법
이 방정식에서 양변을
의 최고차항인
로 나눈 다음
라고 두면
꼴로 차 고차항을 치른하우스 변형으로 압축 정리(zipping)할 수 있다.
한편,
의 완전제곱식을 풀면,
이 되므로
의 나머지인
를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 만든다.
이 된다.
이번에는 우변에 미지수
를 제공하고
와
에 대해 정리하면,
우변 이차방정식의 판별식,
이되면, 우변은 완전제곱식을 만족하겠다.
이것은
에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어
의 3근
를 구한다음
을 대입한다.
에 의해
이므로,
이다.
이로써, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되겠다.
이렇게, 사차방정식은 두 개의 완전제곱식의 이차방정식으로 분해된다.
양변에 제곱근을 주고, 이항시켜 정리하면,
근의 공식으로부터
그리고,
, 이므로
4근은,
이다.
일반적인 경우
양변을
의 최고차항인
로 나눈 다음
라고 두고
형태로 정리한다.
여기서,
, 치환
전개하면,
여기서,
, 치환 한것을
, 풀어주면
근과 계수의 관계에서,
를 대입하면,
따라서, z로 3차방정식을 가정하여 정리하면,
이것의 3차방정식을 풀면 근은 각 각
이고,
다시 이것의 제곱근
가 서로 곱해서,
가 되는 값이 각각 근의
가 되고,
이어서,
가 되고,
이것으로
가 되겠다.
끝으로 정리하면, 4차방정식의 네근
에 의해 ,
가 되겠다.
특수한 경우
복이차방정식
사차 방정식 중 홀수 차수의 계수가 모두 0인, 즉 짝수 차수 항만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다.
으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다.
계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 상반방정식(Symmetric equations)이라고 한다. 즉 방정식의 x의 n제곱 항 옆에 있는 계수를 거꾸로 읽어도 똑같다는 것이다. 사차방정식의 경우는 다음과 같다.
이 경우 양변을
으로 나누어
를
로 치환해주면 이차방정식으로 변환된다.
이차방정식 근의 공식으로부터,
, 이고
, 이므로
,
,
,
따라서, 역시 근의 공식을 적용하면,
이므로, 여기에
를 대입하여 정리하면,
의 4근을 갖는다.
좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations)
의 경우
으로 치환해주면 된다.
의 꼴이다.
특히
의 경우는, 근의 계수
를 교착해서 4개의 근이 구해진다.(근은 1, -1, i, -i이다.)
로 예약했을때,
꼴로 인수분해와 2차방정식으로 풀수있다.
근과 계수의 관계
사차방정식
의 네 근을
라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다.
이것은 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수와의 관계증명을 사용하면, 대수학의 기본정리에따라
차방정식은
개의 근을 갖고,따라서,
개의 근
를 예정하고,이를
차방정식의 인수분해식으로 놓으면,
이 되고,다항식으로 전개하면,
이고, 일반항의 최고차항의 계수인 'a'로 양변을 나누면,
이므로, 서로 근의 정보와 계수 정보와의 상관관계를 보여주고 있다.
사차방정식의 판별식
같이 보기