볼록 집합
기하학에서 볼록 집합(영어: convex set)은 임의의 두 점을 잇는 선분을 포함하는, 유클리드 공간의 부분 집합이다.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Convex_polygon_illustration1.svg/220px-Convex_polygon_illustration1.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Convex_polygon_illustration2.svg/220px-Convex_polygon_illustration2.svg.png)
정의
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.
-위상 벡터 공간
의 부분 집합
가 다음 조건을 만족시키면, 볼록 집합이라고 한다.
- 임의의
및
에 대하여,
국소 볼록 집합(영어: locally convex set)은 임의의 점이 (그 부분 집합에서의) 볼록 근방을 갖는 부분 집합이다.
다각 연결 집합
실수 위상 벡터 공간 의 부분 집합
가 다음 조건을 만족시키면, 다각 연결 집합(영어: polygonally connected set)이라고 한다.
- 임의의
에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 자연수
및
가 존재한다.
- 각
및 임의의
에 대하여,
위 정의에서 을 어떤 자연수로 고정하면,
-다각 연결 집합(영어:
-polygonally connected set)의 정의를 얻는다. 이 경우, 볼록 집합은 1-다각 연결 집합과 동치이다.
성질
연산에 대한 닫힘
볼록 집합들의 교집합은 볼록 집합이다. 볼록 집합들의 상향 집합의 합집합은 볼록 집합이다. (더 일반적인 결과는 성립하지 않는다. 예를 들어, 서로 만나는 두 직선의 합집합은 볼록 집합이 아니다.) 볼록 집합의 폐포·내부는 볼록 집합이다.
함의 관계
모든 다각 연결 집합은 경로 연결 공간이다. 모든 -다각 연결 집합은 다각 연결 집합이다. (그러나 다각 연결 집합은 어떤
에 대하여
-다각 연결 집합일 필요가 없다.) 모든 별모양 집합은 2-다각 연결 집합이다. 모든 (공집합이 아닌) 볼록 집합은 별모양 집합이다.
실수 노름 공간의 연결 열린집합은 항상 다각 연결 집합이다.[1]:81, Exercise 3.4.2
유클리드 공간 의 부분 집합
에 대하여, 만약
가 닫힌집합이며, 연결 공간이며, 국소 볼록 집합이라면,
는 볼록 집합이다 (티체-나카지마 정리, 영어: Tietze–Nakajima theorem).[2]:1306 보다 일반적으로, 만약
가 닫힌집합이며, 연결 집합이며,
개 이하의 국소 비볼록점을 갖는다면,
는
-다각 연결 집합이다.[2]:1305, Theorem 1 보다 일반적으로, 만약
가 닫힌집합이며, 연결 집합이며,
의 국소 비볼록점의 집합이 (서로소일 필요가 없는)
개의 볼록 집합의 합집합이라면,
는
-다각 연결 집합이다.[2]:1305, Theorem 2
부분 집합의 극대 볼록 집합
실수 위상 벡터 공간 의 부분 집합
가 주어졌다고 하자.
의 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를
의 볼록 성분(영어: convex component)이라고 한다.
의 임의의 볼록 집합은
의 볼록 성분에 포함되며, 임의의 볼록 성분은 연결 집합이므로,
의 유일한 연결 성분에 포함된다. 그러나 연결 성분과 달리, 볼록 성분들은 서로소일 필요가 없다. 다시 말해,
의 주어진 볼록 집합을 포함하는 극대 볼록 집합은 유일하지 않을 수 있다.
만약 가 닫힌집합이라면, 모든 볼록 성분 역시 닫힌집합이다.
실수 위상 벡터 공간 의 부분 집합
가 가산 개의
의 서로소 볼록 닫힌집합
들의 합집합이라면,
의 볼록 성분들은 정확히
들이며, 특히
의 볼록 성분들은
의 분할을 이룬다.[3]:Theorem 2.10
예
집합
은 경로 연결 공간이지만, 의 다각 연결 집합이 아니다.
역사
티체-나카지마 정리는 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)[4]와 나카지마(영어: S. Nakajima)[5]가 모두 1928년 논문에서 독립적으로 증명하였다.
같이 보기
각주
외부 링크
위키미디어 공용에 볼록 집합 관련 미디어 분류가 있습니다.
- “Convex set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Convex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “What are the open subsets of Rn that are diffeomorphic to Rn”. 《Stack Exchange》 (영어).
- “Proof that convex open sets in Rn are homeomorphic?”. 《Stack Exchange》 (영어).