선형대수학 에서 벡터곱 (vector곱, 영어 : vector product ) 또는 가위곱 (영어 : cross product )은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라 인 스칼라곱 과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량 , 로런츠 힘 등의 공식에 등장한다.
정의 두 벡터 a {\displaystyle \mathbf {a} } 와 b {\displaystyle \mathbf {b} } 의 벡터곱은 a × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } 라 쓰고(쐐기곱 과 연관지어 a ∧ b {\displaystyle \mathbf {a} \land \mathbf {b} } 라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.
a × b = n ^ | a | | b | sin θ {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\hat {\mathbf {n} }}\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta } 식에서 θ {\displaystyle \theta } 는 a {\displaystyle \mathbf {a} } 와 b {\displaystyle \mathbf {b} } 가 이루는 각을 나타내며, n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 은 a {\displaystyle \mathbf {a} } 와 b {\displaystyle \mathbf {b} } 에 공통으로 수직 인 단위벡터 를 나타낸다.
위 정의에서의 문제점은 a {\displaystyle \mathbf {a} } 와 b {\displaystyle \mathbf {b} } 에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } 이 수직이면, − n ^ {\displaystyle -{\hat {\mathbf {n} }}} 도 수직이다.
어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간 의 방향 (orientation )에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 a × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } 는, a , b , a × b {\displaystyle \mathbf {a,b,a\times b} } 가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터 다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 하지만 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 슈도벡터다.)
벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.
벡터곱의 정의
성질 a , b , c ∈ R 3 , α ∈ R 이라 하자.
교환법칙 이 성립하지 않음에 주의하자.스칼라곱에 대한 선형성: (αa )×b = a ×(αb ) = α(a ×b ). 벡터의 덧셈에 대한 분배법칙 : a ×(b + c ) = a ×b + a ×c 스칼라 삼중곱 : a ⋅ ( b × c ) = b ⋅ ( c × a ) = c ⋅ ( a × b ) = det ( a , b , c ) {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\det(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )} 벡터 삼중곱 또는 라그랑주 공식: a ×(b ×c ) = b (a ∙c )-c (a ∙b ) 벡터곱의 크기: ||a ×b ||2 = (a ·a )(b ·b )-(a ·b )2 ||a ×b || = ||a || ||b || sin θ 여기서 θ는 a 로부터 b 까지의 각도 이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형 의 면적으로 생각할 수 있다. 야코비 항등식: a ×(b ×c ) + b ×(c ×a ) + c ×(a ×b ) = 0 a ×b ⊥ a 이고 a ×b ⊥ b 이다.a 와 b 가 모두 0벡터가 아닐 때, a ×b = 0 인 것은 a 와 b 가 서로 평행인 것과 동치 이다.유클리드 공간 의 단위벡터 i , j , k 는 주어진 데카르트 좌표계에서 다음 관계를 만족한다.i ×j = k , j ×k = i , k ×i = j 이 식을 이용해, 벡터곱의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k = [ a 1 , a 2 , a 3 ] {\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} =[a_{1},a_{2},a_{3}]} b = b 1 i + b 2 j + b 3 k = [ b 1 , b 2 , b 3 ] {\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} =[b_{1},b_{2},b_{3}]} 로 표기할 때, a × b = [ a 2 b 3 − a 3 b 2 , a 3 b 1 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − a 2 b 1 ] {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}]} 위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식 을 이용하여 간단히 쓸 수 있다. a × b = det [ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ] {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}} 따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 스칼라곱 과 벡터곱으로 쓸 수 있다.det(a ,b ,c ) = a ·(b ×c ). 벡터곱은 또한 사원수 의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 벡터곱에 대한 i , j , k 에 대한 관계가 사원수의 연산에서 i , j , k 가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터 [ a 1 , a 2 , a 3 ] {\displaystyle [a_{1},a_{2},a_{3}]} 가 사원수 a 1 i + a 2 j + a 3 k {\displaystyle a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k} 를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 벡터곱과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 스칼라곱값 × −1과 같게 된다.) 분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로써, R 3 에서의 벡터의 합과 벡터곱은 리 대수 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 를 이룬다. 즉, 그 구조 상수는 레비치비타 기호 ϵ i j k {\displaystyle \epsilon ^{ijk}} 이다.
외적(外積, exterior product)과의 관계 여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계 의 성분을 의미한다.
3차원 유클리드 공간 R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} 에서 직교좌표계 의 성분으로 표현된 두 벡터 w a = ( w 1 , w 2 , w 3 ) {\displaystyle w^{\mathbf {a} }=(w^{1},w^{2},w^{3})} 와 v a = ( v 1 , v 2 , v 3 ) {\displaystyle v^{\mathbf {a} }=(v^{1},v^{2},v^{3})} 의 외적은 다음과 같다.
w a ⊗ v b = w a v b {\displaystyle w^{\mathbf {a} }\otimes v^{\mathbf {b} }=w^{\mathbf {a} }v^{\mathbf {b} }} 여기서, 외적에 호지 쌍대 를 취하면 벡터곱 이 된다.
( w c × v d ) a = [ ∗ ( w c v d ) ] a = g a b ϵ b c d v c w d {\displaystyle (w^{\mathbf {c} }\times v^{\mathbf {d} })^{\mathbf {a} }=[*\left(w^{\mathbf {c} }v^{\mathbf {d} }\right)]^{\mathbf {a} }=g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }} 성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, g a b = δ a b {\displaystyle g^{\mathbf {ab} }=\delta ^{\mathbf {ab} }} 이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타 .) 이를 간단히 전개해보면,
g a b ϵ b c d v c w d = δ a b ϵ b c d v c w d = δ a b ( ϵ 123 e b 1 ∧ e c 2 ∧ e d 3 ) v c w d {\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }&=\delta ^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }\\&=\delta ^{\mathbf {ab} }\left(\epsilon _{123}e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}\right)v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }\end{aligned}}} 여기서 e b 1 ∧ e c 2 ∧ e d 3 {\displaystyle e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}} 를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,
e b 1 ∧ e c 2 ∧ e d 3 = e b 1 e c 2 e d 3 + e c 1 e d 2 e b 3 + e d 1 e b 2 e c 3 − e d 1 e c 2 e b 3 − e b 1 e d 2 e c 3 − e c 1 e b 2 e d 3 {\displaystyle e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}=e_{\mathbf {b} }^{1}e_{\mathbf {c} }^{2}e_{\mathbf {d} }^{3}+e_{\mathbf {c} }^{1}e_{\mathbf {d} }^{2}e_{\mathbf {b} }^{3}+e_{\mathbf {d} }^{1}e_{\mathbf {b} }^{2}e_{\mathbf {c} }^{3}-e_{\mathbf {d} }^{1}e_{\mathbf {c} }^{2}e_{\mathbf {b} }^{3}-e_{\mathbf {b} }^{1}e_{\mathbf {d} }^{2}e_{\mathbf {c} }^{3}-e_{\mathbf {c} }^{1}e_{\mathbf {b} }^{2}e_{\mathbf {d} }^{3}} 이다. 그리고 여기에 v c w d {\displaystyle v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }} 를 곱하면
( e b 1 ∧ e c 2 ∧ e d 3 ) v c w d = e b 1 ( v 2 w 3 − v 3 w 2 ) + e b 2 ( v 3 w 1 − v 1 w 3 ) + e b 3 ( v 1 w 2 − v 2 w 1 ) {\displaystyle (e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3})v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }=e_{\mathbf {b} }^{1}(v^{2}w^{3}-v^{3}w^{2})+e_{\mathbf {b} }^{2}(v^{3}w^{1}-v^{1}w^{3})+e_{\mathbf {b} }^{3}(v^{1}w^{2}-v^{2}w^{1})} 되고 마지막으로 δ a b ϵ 123 {\displaystyle \delta ^{\mathbf {ab} }\epsilon _{123}} 을 곱하면
g a b ϵ b c d v c w d = e 1 b ( v 2 w 3 − v 3 w 2 ) + e 2 b ( v 3 w 1 − v 1 w 3 ) + e 3 b ( v 1 w 2 − v 2 w 1 ) {\displaystyle g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }=e_{1}^{\mathbf {b} }(v^{2}w^{3}-v^{3}w^{2})+e_{2}^{\mathbf {b} }(v^{3}w^{1}-v^{1}w^{3})+e_{3}^{\mathbf {b} }(v^{1}w^{2}-v^{2}w^{1})} 이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.
응용
고차원에서의 벡터곱 7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수 의 방법을 팔원수 에 적용하여 얻어질 수 있다.
7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.
다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다. x ×(a y + b z ) = a x × y + b x × z and (a y + b z ) × x = a y × x + b z × x x ×y + y ×x = 0x ·(x ×y ) = y ·(x ×y ) = 0x ×(y ×z ) + y ×(z ×x ) + z ×(x ×y ) = 0 ||x ×y ||2 = ||x ||2 ||y ||2 -(x ·y )2
외부 링크
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