정의 위상 공간 X {\displaystyle X} , 음이 아닌 정수 k {\displaystyle k} , 체 F {\displaystyle \mathbb {F} } 가 주어지면, k {\displaystyle k} 번째 베티 수 b k ( X , F ) {\displaystyle b_{k}(X,\mathbb {F} )} 는 k {\displaystyle k} 번째 특이 호몰로지 공간 H k ( X ; F ) {\displaystyle H_{k}(X;\mathbb {F} )} 의 ( F {\displaystyle \mathbb {F} } 에 대한 벡터 공간 으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
b k ( X , F ) = dim H k ( X ; F ) {\displaystyle b_{k}(X,\mathbb {F} )=\dim H_{k}(X;\mathbb {F} )} 일반적으로, F {\displaystyle \mathbb {F} } 가 주어지지 않았을 때에는 F = Q {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {Q} } (유리수 )를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간 H k ( X ; Z ) {\displaystyle H_{k}(X;\mathbb {Z} )} 의 계수 와 같다. F {\displaystyle \mathbb {F} } 의 표수 가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 k {\displaystyle k} 가 주어지지 않으면 암묵적으로 k = 1 {\displaystyle k=1} 이다.
콤팩트 공간 이나 CW 복합체 의 베티 수는 어떤 유한한 k 0 {\displaystyle k_{0}} 이상으로는 k ≥ k 0 {\displaystyle k\geq k_{0}} 에 대하여 b k = 0 {\displaystyle b_{k}=0} 이다. 따라서 베티 수를 생성함수 로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식 (영어 : Poincaré polynomial )이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식 P ( z ) {\displaystyle P(z)} 는 다음을 만족한다.
P ( z ) = ∑ k = 0 ∞ b k z k {\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}z^{k}} 무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 급수 (영어 : Poincaré series )를 정의할 수 있다.
성질
예 n {\displaystyle n} 차원 초구 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
P S n ( z ) = 1 + z n {\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=1+z^{n}} n {\displaystyle n} 차원 원환면 T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다.
P S n ( z ) = ( 1 + z ) n {\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=(1+z)^{n}} n {\displaystyle n} 차원 실수 사영 공간 R P n {\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}} 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
P R P n ( z ) = { 1 2 ∣ n 1 + x n 2 ∤ n {\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)={\begin{cases}1&2\mid n\\1+x^{n}&2\nmid n\end{cases}}} 무한 차원 실수 사영 공간 R P ∞ {\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }} 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
P R P n ( z ) = 1 {\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)=1} 2 n {\displaystyle 2n} 차원 복소수 사영 공간 C P n {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}} 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
P c P n ( z ) = 1 + z 2 + ⋯ + z 2 n = 1 − z 2 n + 2 1 − z 2 {\displaystyle P_{\mathbb {cP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+\cdots +z^{2n}={\frac {1-z^{2n+2}}{1-z^{2}}}} 무한 차원 복소수 사영 공간 C P ∞ {\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }} 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
P C P n ( z ) = 1 + z 2 + z 4 + ⋯ = 1 1 − z 2 {\displaystyle P_{\mathbb {CP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+z^{4}+\cdots ={\frac {1}{1-z^{2}}}} 종수 g {\displaystyle g} 의 콤팩트 유향 곡면 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
P Σ g ( z ) = 1 + 2 g z + z 2 {\displaystyle P_{\Sigma _{g}}(z)=1+2gz+z^{2}} K3 곡면 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
P K3 ( z ) = 1 + 22 z 2 + z 4 {\displaystyle P_{\text{K3}}(z)=1+22z^{2}+z^{4}}
리 군 콤팩트 단일 연결 단순 리 군 G {\displaystyle G} 의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다.
P G ( z ) = ∏ n ∈ N ( G ) ( 1 + z n ) {\displaystyle P_{G}(z)=\prod _{n\in N(G)}(1+z^{n})} 여기서 N ( G ) {\displaystyle N(G)} 는 원시 지수 (영어 : primitive exponent )라고 하며, 다음과 같다.
단순 리 군 원시 지수 OEIS SU ( n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n+1)} 3 , 5 , … , 2 n + 1 {\displaystyle 3,5,\dots ,2n+1} Spin ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)} 3 , 7 , … , 4 n − 1 {\displaystyle 3,7,\dots ,4n-1} USp ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {USp} (2n)} 3 , 7 , … , 4 n − 1 {\displaystyle 3,7,\dots ,4n-1} Spin ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)} 3 , 7 , … , 4 n − 5 , 2 n − 1 {\displaystyle 3,7,\dots ,4n-5,2n-1} G 2 {\displaystyle G_{2}} 3, 11 F 4 {\displaystyle F_{4}} 3, 11, 15, 23 E 6 {\displaystyle E_{6}} 3, 9, 11, 15, 17, 23 (OEIS 의 수열 A106373 ) E 7 {\displaystyle E_{7}} 3, 11, 15, 19, 23, 27, 35 (OEIS 의 수열 A106374 ) E 8 {\displaystyle E_{8}} 3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59 (OEIS 의 수열 A106403 )
역사
같이 보기
외부 링크