기하학 에서 무게 중심 (-中心, 영어 : centroid, barycenter )은 주어진 도형 속 모든 점의 산술 평균 이 되는 점이다. 이는 도형을 밀도가 균일한 물체로 보았을 때 .물리학 에서의 무게 중심 과 일치한다.[1] :61, Remark 2.7.5.3
정의
유한 개의 점의 무게 중심 체 F {\displaystyle F} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 가 주어졌고, 양의 정수 n {\displaystyle n} 이 F {\displaystyle F} 의 표수 의 배수 가 아니라고 하자. (예를 들어 A {\displaystyle A} 가 유클리드 공간 이며 n {\displaystyle n} 은 임의의 양의 정수라고 가정할 수 있다.) 그렇다면 n {\displaystyle n} 개의 점 a 1 , … , a n ∈ A {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A} 의 무게 중심 은 다음을 만족시키는 유일한 점 g ∈ A {\displaystyle g\in A} 로 정의된다.
1 n ∑ k = 1 n g a k → = 0 → {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\overrightarrow {ga_{k}}}={\vec {0}}} 즉, 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, 다음이 성립한다.
g = a + 1 n ∑ k = 1 n a a k → {\displaystyle g=a+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\overrightarrow {aa_{k}}}} 특히, A {\displaystyle A} 가 벡터 공간 일 경우 다음이 성립한다.[1] :75-77, Examples 3.4.2
g = 1 n ∑ k = 1 n a k {\displaystyle g={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
유한 개의 질점의 무게 중심 보다 일반적으로, 체 F {\displaystyle F} 위의 아핀 공간 A {\displaystyle A} 및 양의 정수 n {\displaystyle n} 이 주어졌고, n {\displaystyle n} 개의 점 a 1 , … , a n ∈ A {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A} 의 질량 w 1 , … , w n ∈ F {\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}\in F} 의 합이 F {\displaystyle F} 의 표수의 배수가 아니라고 하자. (예를 들어 A {\displaystyle A} 가 유클리드 공간일 경우 질량의 합이 0이 아니라고 하자.) 그렇다면 질점 ( a 1 , w 1 ) , … , ( a n , w n ) {\displaystyle (a_{1},w_{1}),\dots ,(a_{n},w_{n})} 의 무게 중심 은 다음을 만족시키는 유일한 점 g ∈ A {\displaystyle g\in A} 이다.[2] :26, §I.4, Proposition 4.1
∑ k = 1 n w k g a k → = 0 → {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}w_{k}{\overrightarrow {ga_{k}}}={\vec {0}}} 즉, 임의의 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 에 대하여, 다음이 성립한다.[2] :26, §I.4, Proposition 4.1
g = a + ∑ k = 1 n w k a a k → ∑ k = 1 n w k {\displaystyle g=a+{\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}{\overrightarrow {aa_{k}}}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}}}} 특히, A {\displaystyle A} 가 벡터 공간일 경우 다음이 성립한다.
g = ∑ k = 1 n w k a k ∑ k = 1 n w k {\displaystyle g={\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}}}} 유한 개의 점의 무게 중심은
w 1 = ⋯ = w n {\displaystyle w_{1}=\cdots =w_{n}} 인 특수한 경우이다. 이를 질점들의 무게 중심과 구별하기 위해 등무게 중심 (等-中心, 영어 : equibarycenter )이라고 부르기도 한다.
영역의 무게 중심 유클리드 공간 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 의 콤팩트 부분 집합 K ⊆ R d {\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{d}} 가 int K ≠ ∅ {\displaystyle \operatorname {int} K\neq \varnothing } 을 만족시킨다고 하자. 그렇다면 K {\displaystyle K} 는 르베그 가측 집합 이며, 0 < μ ( K ) < ∞ {\displaystyle 0<\mu (K)<\infty } 가 성립한다. 여기서 μ {\displaystyle \mu } 는 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 위의 르베그 측도 이다. 이 경우 K {\displaystyle K} 의 무게 중심 은 다음과 같이 정의된다.[1] :60, Proposition 2.7.5.1
g = 1 μ ( K ) ∫ K x d μ {\displaystyle g={\frac {1}{\mu (K)}}\int _{K}x\mathrm {d} \mu } 보다 일반적으로, 밀도 함수 w : K → R {\displaystyle w\colon K\to \mathbb {R} } ( ∫ K w ( x ) d μ ≠ 0 {\displaystyle \textstyle \int _{K}w(x)\mathrm {d} \mu \neq 0} )가 부여되었을 때의 무게 중심 은 다음과 같다.
g = ∫ K w ( x ) x d μ ∫ K w ( x ) d μ {\displaystyle g={\frac {\int _{K}w(x)x\mathrm {d} \mu }{\int _{K}w(x)\mathrm {d} \mu }}} 영역의 무게 중심은 w {\displaystyle w} 가 상수 함수 인 특수한 경우이다.
성질
결합 법칙 질점
( a 1 , w 1 ) , … , ( a n , w n ) ∈ A × K {\displaystyle (a_{1},w_{1}),\dots ,(a_{n},w_{n})\in A\times K} 의 무게 중심은
( a 1 , w 1 ) , … , ( a k , w k ) {\displaystyle (a_{1},w_{1}),\dots ,(a_{k},w_{k})} 의 무게 중심과
( a k + 1 , w k + 1 ) , … , ( a n , w n ) {\displaystyle (a_{k+1},w_{k+1}),\dots ,(a_{n},w_{n})} 의 무게 중심의 질량 ∑ j = 1 k w j {\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{k}w_{j}} 및 ∑ j = k + 1 n w j {\displaystyle \textstyle \sum _{j=k+1}^{n}w_{j}} 에 대한 무게 중심과 같다.[2] :27, Proposition 4.2 물론 이는 유한 번 반복할 수 있다. 특히, 체 K {\displaystyle K} 의 표수가 2나 3이 아닐 경우, 유한 개의 점의 무게 중심은 선분 과 삼각형 의 무게 중심으로 귀결된다.
아핀기하학적 성질 아핀 공간의 한 점을 원점으로 삼아 벡터 공간으로 만들었을 때, 질점의 무게 중심은 계수의 합이 1인 선형 결합 이므로, 아핀기하학의 몇몇 개념은 무게 중심을 통해 서술할 수 있다.
아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 부분 집합 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1] :79, Proposition 3.5.1
아핀 공간 A {\displaystyle A} 의 부분 집합 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2] :29, §I.5, Proposition 5.6
음이 아닌 질량의 질점의 무게 중심에 대하여 닫혀있다. 볼록 집합 이다.아핀 공간 A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 사이의 함수 T : A → B {\displaystyle T\colon A\to B} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1] :79, Proposition 3.5.2
질점의 무게 중심을 보존한다. 즉, 만약 g {\displaystyle g} 가 ( a k , w k ) {\displaystyle (a_{k},w_{k})} ( 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq k\leq n} )의 무게 중심이라면, T ( g ) {\displaystyle T(g)} 는 ( T ( a k ) , w k ) {\displaystyle (T(a_{k}),w_{k})} ( 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq k\leq n} )의 무게 중심이다. 아핀 변환 이다.
예
선분 체의 표수가 2가 아닐 경우, 선분 A B {\displaystyle AB} 의 두 끝점의 무게 중심 M {\displaystyle M} 을 선분 A B {\displaystyle AB} 의 중점 이라고 한다.[1] :75-77, Examples 3.4.2 이 경우
M A = M B {\displaystyle MA=MB} 가 성립한다.
3차원 유클리드 공간 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 속 선분의 두 끝점이 각각 ( x k , y k , z k ) {\displaystyle (x_{k},y_{k},z_{k})} ( k = 1 , 2 {\displaystyle k=1,2} )이라고 할 때, 중점은
( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 , z 1 + z 2 2 ) {\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)} 이다.
삼각형 삼각형의 무게 중심의 도해 체의 표수가 3이 아닐 경우 삼각형 의 세 꼭짓점의 무게 중심을 정의할 수 있다. 체의 표수가 2나 3이 아닐 경우, 삼각형 A B C {\displaystyle ABC} 의 세 꼭짓점의 무게 중심 G {\displaystyle G} 는 세 중선 A D , B E , C F {\displaystyle AD,BE,CF} 의 교점이며, 각 중선의 중점에 더 가까운 삼등분점이다. 즉,
A G / G D = B G / G E = C G / G F = 2 {\displaystyle AG/GD=BG/GE=CG/GF=2} 가 성립한다.[3] :56, §2B, Theorem 2.7
정삼각형 이 아닌 삼각형의 무게 중심은 외심 , 구점원 의 중심, 수심 과 함께 오일러 직선 위의 점이다. 정삼각형의 무게 중심은 내심, 외심, 구점원의 중심, 수심과 일치한다.
유클리드 공간 속 삼각형의 세 꼭짓점의 무게 중심은 세 꼭짓점의 볼록 폐포 의 무게 중심과 일치한다. 특히, R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 속 삼각형의 무게 중심은 역학 에서의 무게 중심 과 일치한다.[3] :57-58 즉, 뾰족한 물체이 꼭지 위에 밀도가 균일한 삼각형판을 세우되 꼭지 위에 무게 중심이 오게 하면, 삼각형판은 기울어지지 않고 평형을 유지한다. 그러나 삼각형의 경계 의 무게 중심은 삼각형의 슈피커 중심 이며, 이는 일반적으로 삼각형의 무게 중심과 일치하지 않는다.[3] :58-59
3차원 유클리드 공간 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 속 삼각형의 세 꼭짓점이 각각 ( x k , y k , z k ) {\displaystyle (x_{k},y_{k},z_{k})} ( k = 1 , 2 , 3 {\displaystyle k=1,2,3} )이라고 할 때, 세 꼭짓점의 무게 중심은
( x 1 + x 2 + x 3 3 , y 1 + y 2 + y 3 3 , z 1 + z 2 + z 3 3 ) {\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}},{\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}}\right)} 이다.
사각형 사각형 A B C D {\displaystyle ABCD} 의 네 꼭짓점 A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} 의 무게 중심은 각 쌍의 대변의 중점을 잇는 2개의 선분과 두 대각선의 중점을 잇는 1개의 선분의 중점이자, 한 꼭짓점과 남은 세 꼭짓점의 무게 중심을 잇는 3개의 선분의 사등분점이다. 볼록 사각형의 네 꼭짓점의 무게 중심과 네 꼭짓점의 볼록 폐포의 무게 중심은 일반적으로 일치하지 않는다.[1] :75-77, Examples 3.4.2
다포체 볼록 다포체 의 모든 꼭짓점의 무게 중심과 모든 꼭짓점의 볼록 폐포 의 무게 중심은 일반적으로 일치하지 않는다.
같이 보기
각주
외부 링크