수학에서 망원급수(영어: telescoping series)란 부분적 항들의 합이 소거 후에 결과적으로 고정된 값만이 남는 수열을 일컫는다.[1][2] 이러한 테크닉은 “차(差)의 방법”, 또는 “상쇄 합”이라고도 불린다.
예를 들어,
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aaac70dff036e3a0e6ba4ad9f8f52f0a5fa3d4c)
와 같은 급수는
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798785669f490377939bf1fd2937a15126504ebf)
으로 단순화된다.
일반적인 경우
함정
다른 예시
- 많은 삼각함수는 차로써의 표현이 인정되므로 망원급수에서 쓰이는 소거법이 연속된 항들에 적용될 수 있다.
- ”f”와 “g”가 다항식이고 각 항이 부분 분수로 쪼개질 수 있을 때, 상쇄 합 방법은 실패할 수도 있다. 예를 들어,
- 문제는 각 항이 소거, 상쇄되지 않는다는 점이다.
- Hk는 ‘’k’’번째 조화수이다. 1/(k − 1) 이후의 모든 항은 소거된다.
같이 보기
각주