측도론 에서 르베그-스틸티어스 측도 (Lebesgue-Stieltjes測度, 영어 : Lebesgue–Stieltjes measure )는 어떤 함수의 ‘도함수’에 해당하는 측도 이다. 이를 사용한 적분을 르베그-스틸티어스 적분 (Lebesgue-Stieltjes積分, 영어 : Lebesgue–Stieltjes integral )이라고 한다.
정의 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
증가 함수 g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 그렇다면, 다음과 같은 외측도 μ g {\displaystyle \mu _{g}} 를 정의할 수 있다.
μ g ( S ) = inf { ∑ ( c , d ] ∈ I ( g ( d + ) − g ( c + ) ) : I ∈ P ≤ ℵ 0 ( C ) , S ⊆ ⋃ I } ( S ∈ B ( [ a , b ] ) ) {\displaystyle \mu _{g}(S)=\inf \left\{\sum _{(c,d]\in {\mathcal {I}}}(g(d^{+})-g(c^{+}))\colon {\mathcal {I}}\in {\mathcal {P}}_{\leq \aleph _{0}}({\mathcal {C}}),\;S\subseteq \bigcup {\mathcal {I}}\right\}\qquad (S\in {\mathcal {B}}([a,b]))} 여기서
C = { ( c , d ] : c , d ∈ R , c < d } {\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{(c,d]\colon c,d\in \mathbb {R} ,\;c<d\right\}} 는 실수 반(半)열린구간들의 집합족 이며,
P ≤ ℵ 0 ( C ) = { I ⊆ C : | I | ≤ ℵ 0 } {\displaystyle {\mathcal {P}}_{\leq \aleph _{0}}({\mathcal {C}})=\left\{{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {C}}\colon |{\mathcal {I}}|\leq \aleph _{0}\right\}} 는 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 속의 가산 개의 반(半)열린구간들의 집합족 들의 모임이며,
g ( x + ) = lim ϵ → 0 + g ( x + ϵ ) {\displaystyle g(x^{+})=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}g(x+\epsilon )} 이다. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 로 생성되는 시그마 대수 σ ( C ) = B ( R ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} 는 실수선의 보렐 시그마 대수 이다. 카라테오도리 확장 정리 에 의하여, 이는 보렐 시그마 대수 에 제한될 경우 측도 를 이루며, 이를 g {\displaystyle g} 의 르베그-스틸티어스 측도 라고 한다.[1] :26, Definition 1.3.7 르베그-스틸티어스 측도에 대한 적분은 흔히 다음과 같이 표기한다.
∫ R f d μ g = ∫ R f d g {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f\;\mathrm {d} \mu _{g}=\int _{\mathbb {R} }f\;\mathrm {d} g}
고차원 르베그-스틸티어스 측도 우선, 임의의 집합 X {\displaystyle X} 에 대하여, 정수 계수 형식적 합의 공간
Span Z ( X n ) = k 1 ( x 1 , 1 , x 2 , 1 , … , x n , 1 ) + k 2 ( x 1 , 2 , x 2 , 2 , … , x n , 2 ) + ⋯ + k p ( x 1 , 1 , x 2 , 1 , … , x n , p ) ( x i , j ∈ X , k j ∈ Z ) {\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})=k_{1}(x_{1,1},x_{2,1},\dots ,x_{n,1})+k_{2}(x_{1,2},x_{2,2},\dots ,x_{n,2})+\cdots +k_{p}(x_{1,1},x_{2,1},\dots ,x_{n,p})\qquad (x_{i,j}\in X,\;k_{j}\in \mathbb {Z} )} 을 생각하자. 임의의 함수 g : X n → R {\displaystyle g\colon X^{n}\to \mathbb {R} } 를 위 공간으로 다음과 같이 확장할 수 있다.
g ^ : Span Z ( X n ) → R {\displaystyle {\hat {g}}\colon \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \mathbb {R} } g ^ : ∑ i = 1 p k i x → i ↦ ∑ i = 1 p k i g ( x → i ) {\displaystyle {\hat {g}}\colon \sum _{i=1}^{p}k_{i}{\vec {x}}_{i}\mapsto \sum _{i=1}^{p}k_{i}g({\vec {x}}_{i})} 이 위에 다음과 같은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -선형 연산자를 정의하자.
Δ i ; b i : Span Z ( X n ) → Span Z ( X n ) {\displaystyle \Delta _{i;b_{i}}\colon \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})} Δ i ; b i : ( a 1 , a 2 , … , a n ) ↦ ( a 1 , a 2 , … , a i − 1 , b i , a i + 1 , … , a n ) − a → {\displaystyle \Delta _{i;b_{i}}\colon (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})\mapsto (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{i-1},b_{i},a_{i+1},\dots ,a_{n})-{\vec {a}}} 이제, 임의의 b → ∈ X n {\displaystyle {\vec {b}}\in X^{n}} 에 대하여 다음과 같은 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -선형 연산자를 정의하자.
Δ b → : Span Z ( X n ) → Span Z ( X n ) {\displaystyle \Delta _{\vec {b}}\colon \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})\to \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }(X^{n})} Δ b → = Δ 1 ; b 1 ∘ Δ 2 ; b 2 ∘ ⋯ ∘ Δ n ; b n {\displaystyle \Delta _{\vec {b}}=\Delta _{1;b_{1}}\circ \Delta _{2;b_{2}}\circ \dotsb \circ \Delta _{n;b_{n}}} 함수
g : R n → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 가 임의의 a → , b → ∈ R n {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여 ( a i ≤ b i ∀ 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle a_{i}\leq b_{i}\qquad \forall 1\leq i\leq n} ) 다음 두 조건을 만족시킨다면, 분포 함수 (영어 : distribution function )라고 하자.
g ( b → ) ≥ g ( a → ) {\displaystyle g({\vec {b}})\geq g({\vec {a}})} g ^ ( Δ b → ( a → ) ) ≥ 0 {\displaystyle {\hat {g}}\left(\Delta _{\vec {b}}({\vec {a}})\right)\geq 0} 이 경우, 위와 같은 a → , b → ∈ R n {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}} 에 대하여 다음과 같은 (외)측도를 정의할 수 있다.
μ g ( ∏ i = 1 n ( a i , b i ] ) = lim ϵ → → 0 + g ^ ( Δ b → + ϵ → ( a → + ϵ → ) ) {\displaystyle \mu _{g}\left(\prod _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\right)=\lim _{{\vec {\epsilon }}\to 0^{+}}{\hat {g}}\left(\Delta _{{\vec {b}}+{\vec {\epsilon }}}({\vec {a}}+{\vec {\epsilon }})\right)} 이를 통해 마찬가지로 보렐 시그마 대수 B ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})} 위에 르베그-스틸티어스 측도
μ g : B ( R n ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu _{g}\colon {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]} 를 정의할 수 있다.[1] :27–28, §1.3.3
예
성질 정의에 따라, 임의의 유계 집합 의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.
역사
각주
외부 링크