대수학의 기본 정리

다항식 ${\displaystyle p(x)}$ 의 근은 ${\displaystyle p(a)=0}$ 인 ${\displaystyle a}$ 를 뜻한다. 대수학의 기본 정리에 따르면, 양의 차수의 복소수 계수 다항식

${\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\in \mathbb {C} [x]\qquad (a_{n}\neq 0,\;n\geq 1)}$

은 근 ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ 을 갖는다.

수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라고 예상하였다. 장 르 롱 달랑베르와 레온하르트 오일러 등이 증명하였으나 보충적인 정리의 증명을 필요로했으며 이러한 맥락에서 모두 불완전하였고, 보다 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스, 장-로버트 아르간드 등이였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 한편 가우스는 추후 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 또한 장-로버트 아르간드의 증명은 오귀스탱 루이 코시가 그의 저술 Cours d'Analyse(Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique)에서 이를 언급한 바 있다.

다음은 복소해석학 또는 위상수학을 이용한 증명이다.

복소 다항식

${\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\ (a_{n}\neq 0,n\geq 1)}$

가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 ${\displaystyle z}$ 에 대해 ${\displaystyle p(z)\neq 0}$ 라고 가정하자. 그러면 ${\displaystyle {\frac {1}{p(z)}}}$ 는 전해석 함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여

${\displaystyle |p(z)|=\left|z^{n}(a_{n}+{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}})\right|\geq |z|^{n}\left||a_{n}|-\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|\right|\cdots \cdots (a)}$

를 얻고, ${\displaystyle C=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}$ 라 하면, 양수 ${\displaystyle M>1}$ 에 대해 ${\displaystyle |z|\geq M}$ 이면

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|\leq {\frac {|a_{n-1}|}{|z|}}+\cdots +{\frac {|a_{0}|}{|z|^{n}}}\leq {\frac {|a_{n-1}|+\cdots +{|a_{0}|}}{|z|}}\leq {\frac {C}{M}}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle M}$ 을 충분히 큰 값으로 선택하여 ${\displaystyle {\frac {C}{M}}<{\frac {|a_{n}|}{2}}}$ 가 되도록 하면 부등식

${\displaystyle |a_{n}|-\left|{\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z^{n}}}\right|>{\frac {|a_{n}|}{2}}}$

이 성립하므로 식 (a)로부터

${\displaystyle \left|{\frac {1}{p(z)}}\right|\leq {\frac {2}{|a_{n}|M^{n}}}}$

을 얻는다. 즉, ${\displaystyle {\frac {1}{p(z)}}}$ 는 유계인 전해석 함수이다. 따라서 리우빌 정리에 의해 ${\displaystyle {\frac {1}{p(z)}}}$ 는 상수 함수이고, ${\displaystyle p(z)}$ 도 상수 함수이다. 즉 ${\displaystyle p(z)}$ 가 상수 함수가 아니라면 영점을 갖는다.

${\displaystyle p(z)}$ 은 n차 다항식이므로 최대 n개의 근을 갖는다. 따라서 ${\displaystyle p(z)}$ 의 근들이 복소평면에서 반지름이 R인 원판 안에 들어오도록 하는 어떤 양의 실수 R을 잡을 수 있다. 이제 r>R인 실수 r에 대해 편각 원리를 적용하면,

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz=N}$

이 성립한다. 여기서 c(r)은 반지름이 r인 원의 반시계 방향 경로를 의미하고, N은 ${\displaystyle p(z)}$ 의 근의 개수를 의미한다. 한편

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {n}{z}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {n}{re^{i\theta }}}ire^{i\theta }\,d\theta =n}$

이므로

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz=N-n}$

이 성립한다. 여기서 두 번째 식의 적분을 보면 분자는 n-1차 다항식이고 분모는 n+1차 다항식이다. 따라서 r이 충분히 커질수록 적분 값은 0에 수렴한다. 즉 N-n이 0에 수렴하므로 N=n이다.

복소 다항식

${\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\ (a_{n}\neq 0,n\geq 1)}$

에 대해, ${\displaystyle z\neq 0}$ 이면

${\displaystyle {\frac {p(z)}{a_{n}z^{n}}}=1+{\frac {1}{a_{n}}}\left({\frac {a_{n-1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{0}}{z}}\right)}$

이다. 그러면 ${\displaystyle r>\max\{{\frac {|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}{|a_{n}|}},1\}}$ 인 r에 대해 ${\displaystyle |z|=r}$ 일 때

${\displaystyle \left|{\frac {p(z)}{a_{n}z^{n}}}-1\right|\leq \left[{\frac {|a_{n-1}|}{r}}+\cdots +{\frac {|a_{0}|}{r^{n}}}\right]{\frac {1}{|a_{n}|}}\leq {\frac {|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}{|a_{n}|r}}<1}$

이므로 ${\displaystyle |p(z)-a_{n}z^{n}|<|a_{n}z^{n}|}$ 이다.${\displaystyle a_{n}z^{n}}$ 은 ${\displaystyle |z|=r}$ 내부에서 n개의 근을 가지므로 루셰 정리에 의해 ${\displaystyle p(z)=(p(z)-a_{n}z^{n})+a_{n}z^{n}}$ 도 n개의 근을 가진다.

복소수 계수 ${\displaystyle n}$ 차 일계수 다항식

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +x^{n}\in \mathbb {C} [x]}$

이 근을 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$ 에 대하여, 원 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}}$

${\displaystyle f_{t}\colon z\mapsto p(tz)/|p(tz)|}$

(이 함수는 항상 ${\displaystyle |p(tz)|\neq 0}$ 이므로 잘 정의된다.) 그렇다면, ${\displaystyle f_{0}}$ 은 함수

${\displaystyle f_{\infty }\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}}$

${\displaystyle f_{\infty }\colon z\mapsto z^{n}}$

와 호모토픽하다. ${\displaystyle f_{0}}$ 은 상수 함수이므로 ${\displaystyle f_{\infty }}$ 는 널호모토픽하다. 그러나 ${\displaystyle f_{\infty }}$ 로부터 유도되는 기본군 사이의 군 준동형 ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\to \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})}$ 은 자명하지 않다. 이는 ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} }$ 이기 때문인데, 이는 피복 공간 이론을 사용하여 보일 수 있으며 초등적인 증명도 존재한다. 따라서 ${\displaystyle f_{\infty }}$ 는 널호모토픽하지 않으며, 이는 모순이다.

대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다.

모든 ${\displaystyle n}$ 차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 ${\displaystyle n}$ 개의 근을 갖는다.

이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. 따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식

${\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{0}\ (a_{n}\neq 0,n\geq 1)}$

에 대해 복소수 ${\displaystyle z_{1},\cdots ,z_{n}}$ 이 존재하여(서로 다를 필요는 없다.)

${\displaystyle p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\dotsb (z-z_{n})}$

와 같이 쓸 수 있다.

실계수 ${\displaystyle n}$ 차 다항식의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 ${\displaystyle n\,}$ 개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 ${\displaystyle n\,}$ 개의 근을 갖지 않을 수도 있다.

실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 ${\displaystyle 2}$ 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 ${\displaystyle a+bi\,}$ 가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 ${\displaystyle a-bi\,}$ 도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은

${\displaystyle (x-(a+bi))(x-(a-bi))=((x-a)-bi)((x-a)+bi)=((x-a)^{2}+b^{2})\,}$

와 같이 (${\displaystyle a,b}$ 는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.

만일${\displaystyle z_{0}\,}$ 가 실계수 다항식

${\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},\,\,\,a_{j}\in \mathbb {R} ,\,\,n\geq 1,\,\,a_{n}\neq 0}$

의 복소수 근이면 즉, ${\displaystyle p(z_{0})=0\,}$ 이면 ${\displaystyle p({\overline {z_{0}}})=0\,}$ 이다.

복소켤레 연산의 성질에 의해

${\displaystyle p({\overline {z_{0}}})=a_{n}{\overline {z_{0}}}^{n}+a_{n-1}{\overline {z_{0}}}^{n-1}+\cdots +a_{1}{\overline {z_{0}}}+a_{0}}$

${\displaystyle ={\overline {a_{n}z_{0}^{n}}}+{\overline {a_{n-1}z_{0}^{n-1}}}+\cdots +{\overline {a_{1}z_{0}}}+{\overline {a_{0}}}}$

${\displaystyle ={\overline {a_{n}z_{0}^{n}+a_{n-1}z_{0}^{n-1}+\cdots +a_{1}z_{0}+a_{0}}}}$

${\displaystyle ={\overline {p(z_{0})}}=0}$

이다.

대수학의 기본정리에 의해 ${\displaystyle n\,}$ 차의 실계수 다항식은 반드시 복소수의 범위에서 ${\displaystyle n\,}$ 개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다.

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• 드무아브르의 정리

• 네이버 캐스트 - 대수학의 기본 정리^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}