내접원
내접원(內接圓, 영어: inscribed circle, incircle)은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. 내심(內心, 영어: incenter)은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 로 표기한다.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Triangle.Incircle.svg/220px-Triangle.Incircle.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Tangentenviereck.svg/220px-Tangentenviereck.svg.png)
정의
다각형의 모든 변에 접하는 원을 이 다각형의 내접원이라고 한다. 내접원의 중심을 내심이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 외접 다각형(外接多角形, 영어: tangential polygon, circumscribed polygon)이라고 한다.
성질
(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다.
모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원은 구점원과 접한다.
반지름
(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 은 넓이
와 반둘레
를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
삼각형의 세 변의 길이가 ,
,
, 반둘레가
, 넓이가
, 외접원의 반지름이
, 방접원의 반지름이
,
,
라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다.
첫 등호는 헤론의 공식에 의한다.
접점과 중심각
삼각형 의 내심을
라고 하고, 내접원과 두 변
,
의 접점을 각각
,
라고 하고, 직선
와
의 교점을
라고 할 때,
는
의 수선이다.[1]:31, §3.4
삼각형 의 내접원의
,
,
의 대변에서의 접점을 각각
,
,
라고 하고, 반둘레를
,
,
,
의 대변의 길이를 각각
,
,
라고 할 때, 다음이 성립한다.
삼각형 의 내심
와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다.
외접원과의 관계
삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 ,
라고 할 때, 내심
와 외심
사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).
특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (오일러의 부등식).
삼각형 의 내심을
, 외접원의 호
의 중점
이라고 할 때, 다음이 성립한다 (맨션 정리).
내심 삼각형
삼각형 의 내각 이등분선
,
,
의 발
,
,
를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형
의 내심 삼각형(內心三角形, 영어: incentral triangle)
라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다.
제르곤 점과 제르곤 삼각형
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Intouch_Triangle_and_Gergonne_Point.svg/220px-Intouch_Triangle_and_Gergonne_Point.svg.png)
삼각형 의 내접원과 꼭짓점
,
,
의 대변의 접점을 각각
,
,
라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분
,
,
는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형
의 제르곤 점(영어: Gergonne point)
이라고 한다. 삼각형
의 내접원의 세 접점
,
,
를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형
의 제르곤 삼각형(영어: Gergonne triangle) 또는 내촉 삼각형(영어: intouch triangle) 또는 접촉 삼각형(영어: contact triangle)
라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다.
증명:
다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분 ,
,
는 한 점에서 만난다.
제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.[1]:62, §7.4, (iv)
삼각형 의 내접원과 꼭짓점
,
,
의 대변의 접점을 각각
,
,
라고 하고, 제르곤 점을
라고 하자. 제르곤 점
을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변
,
,
의 평행선
,
,
와 원래 삼각형
의 두 변
와
,
와
,
와
의 교점을 각각
와
,
와
,
와
라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 원 위에 있다. 이 원을 삼각형
의 애덤스 원(영어: Adams’ circle)이라고 한다.[1]:62, §7.4, (v) 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.[1]:62, §7.4, (v)
증명:
6개의 점 ,
,
,
,
,
와 내심
사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형
,
,
,
,
,
의 빗변이다.
는 내접원의 반지름이므로
를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 를 보이는 것으로 충분하다.
같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 이다. 직선
와
는 평행하므로
이다. 따라서
이다.
선분 ,
의 연장선과 점
를 지나는 직선
의 평행선의 교점을 각각
,
라고 하자. 그렇다면 직선
와
는 평행하며 삼각형
,
는 이등변 삼각형이므로
이며, 선분 는 삼각형
의 중선이다. 직선
,
,
는 각각 직선
,
,
와 평행하므로, 삼각형
와 선분
의 합집합은 삼각형
와 선분
의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분
역시 삼각형
의 중선이다. 즉,
이다.
삼각형 의 내접원과 꼭짓점
,
,
의 대변의 접점을 각각
,
,
라고 하고, 제르곤 점을
라고 하자. 제르곤 점
을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변
,
,
의 평행선
,
,
와 원래 삼각형
의 두 변
와
,
와
,
와
의 교점을 각각
와
,
와
,
와
라고 하자. 직선
와
,
와
,
와
의 교점을 각각
,
,
라고 하자. 그렇다면 삼각형
의 제르곤 점
은 삼각형
의 대칭 중점이며, 삼각형
의 애덤스 원은 삼각형
의 제1 르무안 원이다.[1]:98, Exercise 9.2
역사
제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤(프랑스어: Joseph Diez Gergonne)의 이름을 땄다.
애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스(영어: C. Adams)가 제시하였다.[1]:62, §7.4, (v)
각주
외부 링크
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Incircle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Incenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Inradius”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Contact triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Adams' circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.