각의 이등분선
기하학에서 각의 이등분선(角-二等分線, 영어: angle bisector)은 주어진 각을 같은 크기의 두 각으로 나누는 직선이다. 이 직선 가운데 각의 내부에 포함되는 부분으로 구성된 반직선을 각의 이등분선으로 삼아도 좋다.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Bisection_construction.gif)
정의
주어진 각 의 내부의 점
가
를 만족시키면, 직선 또는 반직선
를 각
의 이등분선이라고 한다.[1]:160, §14.1, Definition 14.7
성질
주어진 각의 이등분선은 유일하게 존재한다. (직선으로서의) 각의 이등분선은 각의 양변과의 거리가 같은 평면 위 점들의 자취이다. 즉, 각 와 이 각의 평면 위의 점
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 직선
는 각의 이등분선이다.
와 직선
사이의 거리는
와 직선
사이의 거리와 같다.
단순비
삼각형 의 꼭짓점
에서의 내각과 외각의 이등분선
,
과 대변
의 교점을
,
라고 하자. 그렇다면
가 성립한다. 여기서 좌변의 비율은 유향 선분의 비율로 봐야 한다. 즉, 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양수이며, 반대일 경우 음수이다.
길이
삼각형 의 각 변
,
,
의 길이가 각각
,
,
라고 하고, 꼭짓점
,
,
에서의 내각의 이등분선
,
,
와 대변
,
,
의 교점을
,
,
라고 하자. 그렇다면
이다. 이에 따라, 같은 삼각형 속 내각의 이등분선은 대변이 짧을수록 더 길다. 예를 들어, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이다. 또한, 다음 두 조건 역시 서로 동치이며, 이를 슈타이너-레무스 정리라고 한다.
이에 따라, 두 내각의 이등분선의 길이가 같은 삼각형은 이등변 삼각형이다.
내심과 방심
삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 내심이라고 한다. 삼각형의 한 내각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 외각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 방심이라고 한다. 모든 삼각형은 한 개의 내심과 세 개의 방심을 갖는다. 내심과 방심의 존재는 각의 이등분선 위의 점과 각의 두 변 사이의 거리가 같다는 사실을 통해 증명하거나, 체바 정리를 통해 증명할 수 있다.
이와 평행하는 결과는 다음과 같다. 삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 같은 직선 위의 점이며, 한 외각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 내각의 이등분선의 발 역시 같은 직선 위의 점이다. 이는 메넬라오스 정리를 통해 증명할 수 있다.
같이 보기
각주
외부 링크
- “Bisectrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Angle bisector”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Exterior angle bisector”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Angle bisector theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.