სანტიმეტრი-გრამი-წამი ერთეულთა სისტემა

პირველად სგწ სისტემა 1832 წელს შემოთავაზებული იქნა გერმანელი მათემატიკოსის, კარლ ფრიდრიხ გაუსის მიერ.^[1] 1874 წელს ის იქნა გაფართოებული ბრიტანელი ფიზიკოსების ჯეიმზ კლერკ მაქსველისა და უილიამ ტომსონის მიერ, რომლებმაც სისტემას დაამატეს ელექტრომაგნიტური ერთეულები.

მექანიკაში სგწ და სი-სისტემის ერთეულები მსგავსი პრინციპით განისაზღვრება. ეს ორი სისტემა მხოლოდ ორი სიდიდის გაზომვის მასშტაბით განსხვავდება (ეს ორი სისტემა შესაბამისად იყენებს სამნტიმეტრს მეტრის მაგივრად და გრამს კილოგრამის მაგივრად), ხოლო მესამე ერთეული, წამი, ერთი და იგივეა ორივე სისტემისთვის. შესაბამისად, არსებობს ურთიერთცალსახა დამოკიდებულემა სხვადასხვა სისტემაში განსაზღვრულ მექანიკურ სიდიდეებს შორის, ხოლო მექანიკის კანონებს ორივე სისტემაში აბსოლუტურად იდენტური ფორმა აქვთ. მექანიკური სიდიდეების განმართება შემდეგია:

${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}}$   (სიჩქარის განმარტება)

${\displaystyle F=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$   (ნიუტონის მეორე კანონი)

${\displaystyle E=\int {\vec {F}}\cdot {\vec {dx}}}$   (ენერგიის განმარტება მუშაობის მეშვეობით)

${\displaystyle p={\frac {F}{L^{2}}}}$   (წნევა განიმარტება როგორც ძალა ფართის ერთეულზე)

${\displaystyle \eta =\tau /{\frac {dv}{dx}}}$   (დინამიური სიბლანტე განიმარტება როგორც წანაცვლების დაძაბულობა სიჩქარის ერთეულ გრადიენტზე).

მაშასადამე, მაგალითად სგწ სისტემის წნევის ერთეული, ბარი, ისევეა დამოკიდებული სგწ სიგრძის, მასისა და დროის ერთეულებთან, როგორც სი-სისტემის წნევის ერთეული პასკალი არის დამოკიდებული სი-სისტემის სესაბამის ერთეულებთან:

1 წნევის ერთეული = 1 ძალის ერთეული/(1 სიგრძის ერთეული)² = 1 მასის ერთეული/(1 სიგრძის ერთეული·(1 დროის ერთეული)²)

1 ბა = 1 გ/(სმ·წმ²)

1 პა = 1 კგ/(მ·წმ²).

სგწ სისტემის ერთეულის სი-სისტემის ერთეულით გამოსახვა საჭიროებს შესაბამისი საბაზისო ერთეულებს შორის გადასვლის ფორმულების გამოყენებას:

1 ბა = 1 გ/(სმ·წმ²) = 10^-3 კგ/(10^-2 მ·წმ²) = 10^-1 კგ/(მ·წმ²) = 10^-1 პა.

სი-სისტემის ერთეულების სგწ სისტემის ერთეულებში გადაყვანა ბევრად უფრო რთულია ელექტრომაგნიტური სიდიდეებისთვის. ეს გარდაქმნა იმდენად არატრივიალურია, რომ ელექტრომაგნეტიზმის კანონების გამომსახველი ფორმულები დამოკიდებულია ერთეულთა არჩეულ სისტემაზე. ეს გარემოება არის იმ განსხვავებული პრინციპების ერთ-ერთი ილუსტრაცია იმისა, რომ ეს ორი სისტემა სრულიად განსხვავებულ პრინციპებზეა აგებული:

• SI სისტემაში ელექტრული დენის ერთეულად არჩეულია 1 ამპერი (A). ამპერი ამ სისტემის საბაზისო ერთეულია, ისევე როგორც მეტრი, კილოგრამი და წამი. ვინაიდან ამპერი არ გამოისახება სხვა საბაზისო ერთეულებით, ელექტრომაგნეტიზმის კანონების ჩაწერა სი-სიტემაში საჭიროებს დამატებითი პროპორციულობის მუდმივების არსებობას, რათა მოხდეს კინემატიკური სიდიდეების ელექტრომაგნიტურ სიდიდეებთან დაკავშირება. ყველა სხვა ელექტრული და მაგნიტური სიდიდე იწარმოება ამ ოთხი საბაზისო ერთეულის მეშვეობით. მაგალითად, ელექტრული მუხტი (q) განიმარტება როგორც ელექტრული დენის (I) ნამრავლი დროზე (t):

${\displaystyle q=I\cdot t}$ ,

მაშასადამე, ელექტრული მუხტის ერთეული, კულონი (კულ), განიმარტება როგორც 1 კულ = 1 ა·წმ.

• სგწ სისტემაში არ ხდება ახალი საბაზისო ერთეულების შემოყვანა. ამის სანაცვლოდ ყველა ელექტრომაგნიტური სიდიდის ერთეულის გამოყვანა ხდება სანტიმეტრის, გრამისა და წამის მეშვეობით, იმ კანონების ანალიზზე დაყრდნობით, რომელიც ელექტრომაგნიტურ მოვლენებს მექანიკასთან აკავშირებს.

ელექტრომაგნიტური სიდიდეების დაკავშირება სიგრძეს, დროსა და წონასთან შესაძლებელია განხორციელდეს რამდენიმე ალტერნატიული მეთოდით. ორი მათგანი ეფუძნება იმ ძალების ანალიზს, რომელითაც დამუხტული ნაწილაკები ურთიერთქმედებენ. ეს არის ორი (ერთმანეთისგან დამოუკიდებელი) ფუნდამენტური კანონი, რომელიც აკავშირებს ელექტრულ მუხტსა და მის წარმოებულს (ელექტრულ დენს) მექანიკურ სიდიდესთან, ძალასთან. ისინი შეიძლება ჩაიწეროს ^[2] სისტემაზე დამოუკიდებელი სახით შემდეგნაირად:

• პირველი არის კულონის კანონი , ${\displaystyle F=k_{C}{\frac {q\cdot q^{\prime }}{d^{2}}}}$ , რომელიც აღწერს ელექტრულ ძალას (F) ორ მუხტს ${\displaystyle q}$ და ${\displaystyle q^{\prime }}$ შორის რომელთა შორის მანძილი არის d. აქ ${\displaystyle k_{C}}$ არის მუდმივა, რომელიც დამოკიდებულია, იმაზე, თუ როგორ იქნება განსაზღვრული მუხტი სგწ სისტემის საბაზისო ერთეულების მეშვეობით.

• მეორე არის ამპერის კანონი, ${\displaystyle {\frac {dF}{dL}}=2k_{A}{\frac {I\,I^{\prime }}{d}}}$ , რომელიც აღწერს მაგნიტურ ძალა F-ს, რომლითაც ერთეულოვან L სიგრძეზე ურთიერთქმედებეს ორი გრძელი და პარალელური დენიანი გამტარი I და I', რომელთა შორის მანძილი არის d. ვინაიდან ${\displaystyle I=q/t}$ და ${\displaystyle I^{\prime }=q^{\prime }/t}$ , მუდმივა ${\displaystyle k_{A}}$ ასევე დამოკიდებულია იმაზე, როგორ განისაზღვრება მუხტის ერთეული სგწ სისტემაში.

მაქსველის ელექტრომაგნეტიზმის თეორია ამ ორ კანონს ერთმანეთთან აკავშირებს და ადგენს, რომ პროპორციულობის კოეფიციენტებს ${\displaystyle k_{C}}$ და ${\displaystyle k_{A}}$ შორის ადგილი აქვს შემდეგ თანაფარდობას ${\displaystyle k_{C}/k_{A}=c^{2}}$ , სადაც c არის სინათლის სიჩქარე. მაშასადამე თუკი განვსაზღვრავთ მოხტის ერთეულს ისე, რომ კულონის კანონში ${\displaystyle k_{C}=1}$ , მაშინ ამპერის კანონში გვექნება პროპორციულობის კოეფიციენტი ${\displaystyle 2/c^{2}}$ . ან, თუ ამპერის კანონში დავუშვებთ ${\displaystyle k_{A}=1}$ ან ${\displaystyle k_{A}=1/2}$ , ეს მოგვცემს შესაბამის კოეფიციენტს კულონის კანონში.

ორივე ეს ორთიერთ-ექვივალენტური მიდგომა გამოყენებული იქნა სგწ სისტემის მიმდევრების მიერ, რის შედეგადაც ჩამოყალიბდა სგწ სისტემის ორი ქვემოთ განხილული ექვივალენტური განშტოება. თუმცა ელექტრომაგნიტური ერთეულების განსაზღვრა საბაზისო ერთეულებით არ არის შეზღუდული მხოლოდ მოხტის განსაზღვრით. მაგალითად ელექტრული ველი შეიძლება იქნას დაკავშირებული მუშაობასთან, იმ მუშაობის საშუალებით, რომელსაც იგი საცდელ მოხტზე ასრულებს. მეორე მხრივ მაგნიტური ძალა ყოველთვის მოძრავი მუხტის მიმართულების პერპენდიკულარულია, და შესაბამისად მის მიერ შესრულებული მუშაობა ყოველთვის ნულის ტოლია. ამის შედეგად მაგნიტური სიდიდეებისთვის გამოყენებული უნდა იქნას მაგნეტიზმის ორი კანონი, რომელთაგან თითოეული ერთმანეთთან აკავშირებს მექანიკურ სიდიდეებსა და ელექტრულ მუხტს:

• პირველი კანონი აღწერს ლორენცის ძალას რომლითაც მაგნიტური ველი B მოქმედებს q, რომელისც მოძრაობს v სიჩქარით:

${\displaystyle \mathbf {F} =\alpha _{L}q\;\mathbf {v} \times \mathbf {B} \;.}$

• მეორე კანონი აღწერს სტატიკური მაგნიტურ ველის (B) გაჩენას ელექტრული დენის (I) მიერ, რომლის სიგრძეა dl, იმ წერტილში, რომლის რადიუს ვექტორია r, (ბიო-სავარის კანონი):

${\displaystyle d\mathbf {B} =\alpha _{B}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}\;,}$ სადაც r და ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ შესაბამისად არის რადიუს-ვექტორის სიგრძე და ერთეულოვან ვექტორი მისი მიმართულებით.

ამ ორი კანონის მეშვეობით შესაძლებელია ამპერის კანონის მიღება, რომლის მიხედვითაც ${\displaystyle k_{A}=\alpha _{L}\cdot \alpha _{B}\;}$ . მაშასადამე, თუ მუხტის ერთეული არჩეულია ამპერის კანონის შესაბამისად, ისე რომ ${\displaystyle k_{A}=1}$ , მაშინ ბუნებრივია მაგნიტური ველის ერთეულის არჩევა ისე, რომ ${\displaystyle \alpha _{L}=\alpha _{B}=1\;}$ . თუმცა, თუ არჩევანი ასე არ გაკეთდა, ნებისმიერ შემთხვევაში ზუმოთ მოყვანილი ორი კანონი დაკმაყოფილებული უნდა იყოს.

გარდა ამისა, იმისათვის, რომ აღვწეროთ ელექტრული ინდუქცია D და მაგნიტური დაძაბულობა H რაიმე გარემოში (ვაკუუმის გარდა) მაშინ საჭიროა განვმარტოთ მუდმივები ε₀ და μ₀, რომლებიც შესაბამისად არიან ვაკუუმის დიელექტრიკული შეღწევადობა და მაგნიტური მუდმივა. მაშინ ზოგად შემთხვევაში გვექნება^[2] ${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\lambda \mathbf {P} }$ და ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}-\lambda ^{\prime }\mathbf {M} }$ , სადაც P და M შესაბამისად არიან პოლარიზაციის ვექტორი და დამაგნიტება. λ and λ′ არის პროპორციულობის მუდმივები, რომლებსაც როგორც წესი ირჩევენ ისე, რომ 4πk_Cε₀. თუ λ = λ′ = 1, ასეთ სისტემას რაციონალიზირებული ეწოდება:^[3]

ქვემოთ მოვანილ ცხრილში თავმოყრილია სხვადასხვა ზემოთ აღწერილი მუდმივების მნიშვნელობები სგწ სისტემის სხვადასხვა ქვესისტემებში:

system	${\displaystyle k_{C}}$	${\displaystyle \alpha _{B}}$	${\displaystyle \epsilon _{0}}$	${\displaystyle \mu _{0}}$	${\displaystyle k_{A}={\frac {k_{C}}{c^{2}}}}$	${\displaystyle \alpha _{L}={\frac {k_{C}}{\alpha _{B}c^{2}}}}$	${\displaystyle \lambda =4\pi k_{C}\cdot \epsilon _{0}}$	${\displaystyle \lambda '}$
ელექტროსტატიკური[2] სგწ	1	c−2	1	c−2	c−2	1	4π	4π
ელექტრომაგნიტური[2] სგწ	c2	1	c−2	1	1	1	4π	4π
გაუსის ერთეულთა სისტემა[2]	1	c−1	1	1	c−2	c−1	4π	4π
ჰევისაიდ-ლორენცის[2] სგწ	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi c}}}$	1	1	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi c^{2}}}}$	c−1	1	1
SI სისტემა	${\displaystyle {\frac {c^{2}}{b}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{b}}}$	${\displaystyle {\frac {b}{4\pi c^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{b}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{b}}}$	1	1	1

მუდმივა b SI სისტემაში განისაზღვრება როგორც: ${\displaystyle b=10^{7}\,\mathrm {A} ^{2}/\mathrm {N} =10^{7}\,\mathrm {m/H} =4\pi /\mu _{0}=4\pi \epsilon _{0}c^{2}\;}$ .

არჩეულ ერთეულთა სისტემაზე დამოუკიდებელი ფორმით მაქსველის განტოლებები ვაკუუმში შეიძლება ჩაწერილი იქნას შემდეგი სახით^[2]

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}&=&4\pi k_{C}\rho \\{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}&=&0\\{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}&=&\displaystyle {-\alpha _{L}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}\\{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}&=&\displaystyle {4\pi \alpha _{B}{\vec {J}}+{\frac {\alpha _{B}}{k_{C}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}\end{array}}}$

აღსანიშნავია, რომ გაუსისა და ჰევისაიდ-ლორენცის სისტემაში ${\displaystyle \alpha _{L}}$ = ${\displaystyle c^{-1}}$ და არა 1-ს. შედეგად ამ სისტემებში ვაკუუმში გავცელებადი ელექტრომაგნიტური ტალღის ${\displaystyle {\vec {E}}}$ და ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ვექტორებს აქვთ ერთი და იგივე განზომილება და ტოლი მნიშვნელობა.

ცხრილში c = 29,979,245,800 ≈ 3·10^{10 არის სინათლის სიჩქარე ვაკუუმში სგწ ერთეულებში (სმ/წმ).}

• SI სისტემა