余代数

${\displaystyle K}$ を体、${\displaystyle C}$ を ${\displaystyle K}$ 上のベクトル空間とする。2つの線型写像 ${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes C}$ 、${\displaystyle \varepsilon :C\to K}$ が存在して、これらが

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad }$ （余結合律）、
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad }$ （余単位律）

を満たすとき、即ち図式

が可換であるとき、組 ${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}$ を余代数という。また、${\displaystyle \Delta }$ を余積、${\displaystyle \varepsilon }$ を余単位という。

${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}$ 、${\displaystyle (D,\Delta ',\varepsilon ')}$ を ${\displaystyle K}$ -余代数とする。${\displaystyle K}$ -線型写像 ${\displaystyle f:C\to D}$ が

${\displaystyle \Delta '\circ f=(f\otimes f)\circ \Delta ,}$

${\displaystyle \varepsilon '\circ f=\varepsilon }$

を満たすとき ${\displaystyle f}$ を余代数射（coalgebra morphism）という。これは以下の図式が可換であることと同値:

${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}$ を余代数、${\displaystyle D\subset C}$ とする。${\displaystyle D}$ が部分余代数であるとは、${\displaystyle \Delta (D)\subseteq D\otimes D}$ を満たすことをいう。このとき、 ${\displaystyle (D,\Delta |_{D},\varepsilon |_{D})}$ は余代数の構造を持つ。

${\displaystyle I}$ を余代数 ${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}$ の部分ベクトル空間とする。${\displaystyle I}$ が余イデアル（coideal）であるとは

${\displaystyle \Delta (I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,}$

${\displaystyle \varepsilon (I)=0}$

を満たすことをいう。このとき商 ${\displaystyle C/I}$ は余代数の構造を持つ。

写像 ${\displaystyle \mathrm {tw} }$ を ${\displaystyle \mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c}$ で定める。余代数 ${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}$ が余可換であるとは、 ${\displaystyle \mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta }$ が成り立つことをいう。ここで新しい余積を ${\displaystyle \Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{(2)}\otimes c_{i}^{(1)}}$ によって定めると、${\displaystyle (C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )}$ は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと ${\displaystyle \Delta =\Delta _{\mathrm {tw} }}$ となることは同値である。

${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}$ を余代数とする。${\displaystyle c\in C}$ とすると、余積は

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)}$

と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを

${\displaystyle \Delta (c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:

${\displaystyle \sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad }$ （余結合律）

${\displaystyle \sum \varepsilon \left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon \left(c_{(2)}\right)=c\quad }$ （余単位律）

• ${\displaystyle S}$ を空でない任意の集合、${\displaystyle kS}$ を ${\displaystyle S}$ の元を基底とした ${\displaystyle k}$ -ベクトル空間とする。任意の ${\displaystyle s\in S}$ に対して余積と余単位を

${\displaystyle \Delta (s)=s\otimes s,\quad \varepsilon (s)=1}$

で定めると、${\displaystyle (kS,\Delta ,\varepsilon )}$ は ${\displaystyle k}$ -余代数の構造を持つ。

• ${\displaystyle H}$ を ${\displaystyle K}$ -ベクトル空間、${\displaystyle \{c_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$ をその基底とする。任意の ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ に対して余積と余単位を

${\displaystyle \Delta (c_{i})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad \varepsilon (c_{i})=\delta _{0,n}}$

で定めると、${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ は ${\displaystyle k}$ -余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。

• ${\displaystyle M_{n}(K)}$ を ${\displaystyle n^{2}}$ 次元 ${\displaystyle K}$ -ベクトル空間、${\displaystyle \{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}}$ をその基底とする。余積と余単位を

${\displaystyle \Delta (e_{ij})=\sum _{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad \varepsilon (e_{ij})=\delta _{i,j}}$

によって定めると ${\displaystyle (M_{n}(K),\Delta ,\varepsilon )}$ は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。

• ${\displaystyle (P,\leq )}$ を局所有限半順序集合とする。${\displaystyle T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}}$ として ${\displaystyle V}$ を ${\displaystyle T}$ の元全体を基底として持つ ${\displaystyle K}$ -ベクトル空間とする。任意の ${\displaystyle (x,y)\in T}$ に対して余積と余単位を

${\displaystyle \Delta (x,y)=\sum _{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes (z,y),\quad \varepsilon (x,y)=\delta _{x,y}}$

で定めると ${\displaystyle (P,\Delta ,\varepsilon )}$ は余代数となる。

• ${\displaystyle C}$ を ${\displaystyle K}$ -ベクトル空間とし、その基底を ${\displaystyle \{s,c\}}$ とする。余積と余単位を

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Delta (s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad &\Delta (c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\\varepsilon (s)&=0,\quad &\varepsilon (c)&=1\end{alignedat}}}$

で定めると ${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}$ は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。

${\displaystyle C}$ を ${\displaystyle K}$ -余代数、${\displaystyle A}$ を ${\displaystyle K}$ -代数、とする。ここで${\displaystyle f,g\in \mathrm {Hom} _{K}(C,A)}$ の積を${\displaystyle f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta }$ 、即ち任意の ${\displaystyle c\in C}$ に対して

${\displaystyle (f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)}$

で定める。${\displaystyle \Delta }$ が余結合的であることから積 ${\displaystyle \ast }$ は結合的であることがわかる。この積によって ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)=:C^{\ast }}$ は ${\displaystyle K}$ -代数となり、${\displaystyle C}$ の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は

${\displaystyle \varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon (c)1_{A}}$

で与えられる。また${\displaystyle C}$ が余可換であることと、全ての可換な ${\displaystyle A}$ に対して ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)}$ が可換であることは同値である。

逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。${\displaystyle A}$ を有限 ${\displaystyle K}$ -次元代数とすると、準同型写像

${\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]}$

が存在して ${\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A)^{\ast }}$ となる。積と単位の双対

${\displaystyle {\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)\end{aligned}}}$

によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に ${\displaystyle A}$ が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。

• Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer (2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press 
• Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin 
• Sorin Dăscălescu; Constantin Năstăsescu; Șerban Raianu (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 235. Marcel-Dekker