ゼンハーモニック音楽

12音階の一般的な規律を守りながらゼンハーモニック的な特徴を有している音楽も少なからず存在する。たとえば、『The Structure of Recognizable Diatonic Tunings』（1985年）の著者であるイースリー・ブラックウッド（英語版）は12音から24音までの多くの平均律でエチュード（練習曲）を書いている。これらのエチュードは12音音楽とのつながりや類似点、またさまざまなゼンハーモニック的特徴を内包し、『電子音楽メディアのための12の微分音エチュード（英語版）』に収録されている。

彼は自身の制作した16音エチュードについてこう述べている:^[4]

この調律は4つの減七和音（dim7）が絡み合った組み合わせとして考えるのが最善だ。12音階は3つの減七和音の組み合わせと考えることができるので、この2つの調律に共通する要素があることは明らかである。この2つの調律における和声において最も明白な違いは、16音階の三和音は認識こそできるものの、カデンツにおいて終止に使われる和音として機能するにはあまりにも不協和音であるということだ。しかし、変化したサブドミナントとドミナントの和声の連続によって調を確立することは可能であり、このエチュードは主にこの性質に基づいている。採用されている基本的な子音和声は、短三和音に短七度を加えたものである。

またダレッグは、「私は12平均律のように聞こえないものすべてを指すために”Xenharmonic"という言葉を考案した」とも述べた。

先述の通り、12平均律以外の音階や調律を使った音楽はその全てがゼンハーモニックに分類される。これには他の平均律のほか、純正律に基づいた音階も含まれる。物理的な物体（棒や柱、プレート、円盤、球体、岩など）の引き起こす音の倍音列 やインハーモニシティに由来する調律などは時として、ゼンハーモニックの探求の基礎となる。ウィリアム・コルヴィグ（英語版）はルー・ハリソンと合同で、チューブロングと呼ばれる独自のチューニングに基づいた楽器を開発した^[5]。

でたらめに選択された音集合によるゼンハーモニック音階での電子音楽の作曲が最初に探求されたのはアルバム『Radionics Radio: An Album of Musical Radionic Thought Frequencies』である: イギリスの作曲家ダニエル・ウィルソン（英語版）が、1940年代後半にオックスフォードのデ・ラ・ワー研究所（英語版）で使用されていたラジオニクスに基づくウェブアプリケーション のユーザーから投稿された周波数を用いて作曲を行なった。^[6]エレイン・ウォーカー（英語版）は新型の鍵盤を開発し、その鍵盤でゼンハーモニック音楽を作曲する電子音楽家である。このほか、ゼンハーモニックに特化した楽器としてカイトギターと呼ばれる特殊な41平均律ギターのブランドが存在する^[7]。

また、The Apples in Stereo（英語版）のロバート・シュナイダー（英語版）は"非ピタゴラス音律”と呼称される対数関数によって作成された音律を作成し使用した。アニー・ゴスフィールド（英語版）の”わざと調律を外した”音楽や、体系的ではない音律を使用するエロディ・ローテン、ウェンディ・カルロス、アイヴァー・ダレッグ、パウル・エリッチ（英語版）らの音楽も場合によってはゼンハーモニックに分類される。^[要出典]

坂本龍一の「ライオット・イン・ラゴス」においても31平均律が使用されており、これも当該音律のゼンハーモニックな特徴を前面に押し出した楽曲となっている^[8]。

MOS（Moment of Symmetry）スケールは1975年にアーヴ・ウィルソン（英語版）によって提案された音階を体系的に作成するシステムであり、主に12以外の任意の平均律の上で調性を成り立たせるために利用される。^[9]より具体的には、特定の平均律の中でオクターブを無視して特定の音程（"ジェネレーター"と呼称される）を堆積することで五度圏に類似する系列を作成し、その一部を切り取った上でソートし単独の音階とみなすことで生まれる。

生成された音階は内包される全音と半音の数と比率、すなわち"L", "s"及び"L/s"という3つの数値を使って表される。（12平均律における例: 全音階は5L 2s (L/s=2:1)、ヨナ抜き音階は2L 3s (L/s=3:2)。）なお、全音と半音のみで成り立たない音階や、五度圏の亜種のサブセットとして表せない音階はMOSには含まれない^[9]。L, sの数値を変更した場合は異なるMOSスケールとして扱われるが、L/sが異なる場合はあくまで「同じ音階の異なるチューニング」ともみなすことができるため、この性質を利用して全音階やヨナ抜き音階の概念を複数の音律に拡張することもできる^[10]。

MOSスケールはその定義の単純さと有用さ、そしてその多様性（n音のMOSスケールはn-1種類存在する）からゼンハーモニック音楽に極めて多用される傾向にある。また、ごく一部のMOSスケールは伝統的な音階との深い類似性を有することで知られている（例を挙げるなら、ガムランのペロッグ音階は2L 5s antidiatonicとして、スレンドロ音階はL/s比の極端に高い5L 1s machinoidとしてそれぞれ厳密に表すことができる）。これらのMOSスケールはXenharmonic Wiki^[11]のサブプロジェクトとして存在する"TAMNAMS"によって命名され、実用化を目的とする性質の調査が積極的に行われている。

ゼンハーモニックの文脈においても、純正音程は極めて重要な概念である。特定の純正音程を堆積した結果を別の純正音程と無理矢理でもみなすことで調律を行うレギュラーテンペラメント（英語版）という概念が存在する。パウル・エリッチ（英語版）は任意の音程がどれほど協和するかを判定する目的で、ハーモニック・エントロピーと呼称される指標を考案した^[12]。これは音程を純正比で近似した場合の複雑さ、即ち情報量を数値化したものであり、この単位を利用することで、MOSスケールを始めとする各音律が最も協和するチューニングを数理的に探し当てることができる。

以下にファレイ数列を利用した最も単純なハーモニック・エントロピーの定義を示す。ただし${\textstyle N}$ と${\displaystyle s}$ は固有の定数、${\textstyle H(x)}$ はヘヴィサイドの階段関数とする。

${\displaystyle he(x)=\sum _{a=1}^{N}\sum _{b=1}^{N}{\frac {e^{-s(\log _{2}(x)-\log _{2}({\frac {a}{b}}))^{2}}H(1-\gcd(a,b))}{\max(a,b)}}}$

しかしながら、高さ関数（英語版）の種類や許容する誤差の大小、集計にどのヘルダー平均を利用するかなどの差異からハーモニック・エントロピーには複数の定義が存在する。それらの定義の中どれが最も人間の感覚に近いのかは未だ結論づけられていない。そのため、現時点ではその簡略性から、概ね全てのケースでウィリアム・サタレス（英語版）によるシャノンエントロピーに基づいた定義^[13]が使用される。

一方、2024年2月、米プリンストン大学及び英ケンブリッジ大学の研究者らにより、「純正音程への正確な近似が人間の主観における音程の協和に必ずしも必須ではなく、むしろ多少の濁りを有する和音の方が快適である」という学説がネイチャー誌に掲載された。この研究結果は志願した約4000人の被験者に様々な和音を聴かせ、数値での快適さの評価を求め、そしてその和音をより心地よくするために周波数を画面上のスライダーで動かしてもらうという一連の実験の結果得られたものである^[14][15]。

実際にゼンハーモニック音楽を作曲する際に使用可能な、DAWやVSTプラグインなどの楽曲制作ソフトウェアは極めて限られる。このうち代表的な実例は以下の通りである^[16][17]。

• Ableton Live
• BABYLON
• CSound
• Entonal Studio
• EP-MK1
• FluidSynth
• FL Studio^[18]
• FM8
• forbidden-music
• KONTAKT 6
• Microsynth
• Microtonal Poly Worms
• MICROTONE 5000
• Mus2（英語版）
• OpenMusic
• Online 19-edo keyboard

• Pure Data
• Scala (音楽ソフトウェア)
• Scale Workshop
• Surge
• Terpstra Keyboard
• TiMidity++
• Vital
• Wilsonic
• Xenpaper

また、以下のソフトウェアはそもそも作曲への利用自体想定されていないものの、その万能性から極めて優秀なゼンハーモニック作曲支援ソフトウェアとしても機能することで知られる。

• Desmos（英語版）

• Scratch (プログラミング言語)
• Wolfarm Alpha

ポータル 音楽

• 純正律
• 平均律
  • 15平均律
  • 17平均律
  • 19平均律
  • 31平均律
  • 34平均律
  • 41平均律
  • 43平均律
  • 53平均律
  • 55平均律
• セント (音楽)
• 音楽と数学
• 微分音
• 音階
• 調律

• ボーレン・ピアース音階（英語版）
• レギュラーテンペラメント（英語版）

• Sethares, William (2004) Tuning, Timbre, Spectrum, Scale. ISBN 3-540-76173-XISBN 3-540-76173-X.

• Microtonality - Web (スペイン語)
• Microtonal music on CD
• Homepage for William Sethares
• The Xenharmonic Wiki
• The Xenharmonic Wiki (日本語版)
• Xenharmonic Alliance
• The Kite Guitar - the future of tuning
• Barbieri, Patrizio. Enharmonic instruments and music, 1470-1900. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice
• Blackwood Microtonal Compositions Easley Blackwood & Jeffrey Kust, on iTunes Includes Fanfare in 19-EDO. Also includes the 16 notes Andantino as the first of the twelve etudes in that collection.
• microtonal piano work of Noah Jordan