53平均律

この分割への理論的な関心は古代にさかのぼる。中国の音楽理論家である京房（78BC-37BC）は、53個の完全五度の連鎖 ${\displaystyle \left(3/2\right)^{53}}$ が、31オクターヴ ${\displaystyle \left(2/1\right)^{31}}$ にほぼ等しいことを発見した。彼は6桁の精度で差を算出し ${\displaystyle {\frac {177147}{176776}}}$ とした（京房の六十律）^[1]。

その後、同じ発見が、数学者および音楽理論家であるニコラス・メルカトル (Nicholas Mercator, c. 1620-1687) によってなされ、彼はこの値を ${\displaystyle {\frac {3^{53}}{2^{84}}}=19383245667680019896796723/19342813113834066795298816}$ として正確に算出し、メルカトルのコンマとして知られている^[2]。メルカトルのコンマは、約3.6150セント (≈ 1/332 オクターヴ)という小さな値であるが、53平均律は、そのコンマの1/53倍 (≈ 0.0682 セント ≈ 1/315 シントニックコンマ ≈ 1/344 ピタゴラスコンマ)だけ各々の完全五度を補正し平準化する。したがって、53平均律は、すべての実際上の目的に対してピタゴラス音律の拡張と等価といえる。

メルカトルの後、ウィリアム・ホルダー（英語版）は、1694年の論文で、53平均律が、長三度を1.4セント以内によく近似することを指摘した。したがって、53平均律はまた、 5限界（英語版）純正律の音程を高い精度で代表する^[3][4]。53平均律のこの性質は、より以前に知られていたかもしれない。アイザック・ニュートンの未出版の手稿は、彼が1664-65年頃すでにそれに気づいていたことを示唆する^[5]。

この音律における31段の音程がほとんど正確に純正な完全五度と等しいので、理論上この音律は53音まで拡張されたピタゴラス音律の一形体であると考えられる。したがって（実用上）純正な五度や、純正より広い長三度（純正の5:4に対して81:64）、また逆に狭い短三度（6:5と比べ32:27）など、ピタゴラス音律と同じ特性を持つ音程が利用できる。

しかしながら、53平均律は非常に純正音程に近い追加の音程を含んでいる。例えば、17段の音程も長三度だが、純正な音程(5:4)よりもわずか1.4セントだけ狭い音程である。53平均律は、5限界純正律の音程をよく近似する。

第7倍音に関連する純正音程の近似はやや劣るが、7:5の三全音で最大の偏差を持ちつつ、依然として一致を見せる。第11倍音に関連する音程の近似はより劣る。

53平均律は、ディエシス (128:125)、7限界のコンマ (64:63)、シントニックコンマ (81:80)を含む音程を緩和していない。

53平均律は、32805:32768（スキスマ、純正5度8個と純正長3度1個を重ねた音程と5オクターヴの差分）、15625:15552（クライスマ（英語版）、純正短3度を6個重ねた音程と3:1の音程の差分）、121:120（大小2つの11限界の中立2度の差分）、225:224（七限界のクライスマ、16:15の半音の2倍と8:7の全音の差分）、325:324（10:9の小全音の2倍と16:13の中立3度の差分）、352:351（13:11の短3度とピタゴラス音律の短3度の差分）の周波数比を緩和する。

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• 34平均律
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• 音律
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  • ピタゴラス音律
  • 中全音律
• 六十律 - 前漢時代の中国で京房により三分損益法を用いて考案されたもので、理論的には53平均律に近い。