微分積分学における商の法則(しょうのほうそく、英: quotient rule)は二つの可微分函数の比(商)となっている函数の導函数の計算を述べるものである[1][2][3]。
具体的に g, h はともに可微分で h(x) ≠ 0 として f(x) = g(x)/h(x) と書けば、この商 f の微分は f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) [ h ( x ) ] 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}} で与えられる。
陰函数微分による証明 — f(x) = g(x)/h(x) ならば g(x) = f(x)h(x) であるから、積の法則により g ′ ( x ) = f ′ ( x ) h ( x ) + f ( x ) h ′ ( x ) {\textstyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)} となり、f′ について解けば f ′ ( x ) = g ′ ( x ) − f ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) = g ′ ( x ) − g ( x ) h ( x ) ⋅ h ′ ( x ) h ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\end{aligned}}} を得る。
連鎖律による証明 — f(x) = g(x)/h(x) = g(x)⋅h(x)−1 と見れば、積の法則により f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − 1 + g ( x ) ( h ( x ) − 1 ) ′ {\textstyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\color {green}(h(x)^{-1})'} であり、右辺第二項の微分は連鎖律のもとで冪の微分法則(英語版)を用いれば、結局 f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − 1 + g ( x ) ⋅ ( − 1 ) h ( x ) − 2 h ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot \color {green}(-1)h(x)^{-2}h'(x)} を得る。整理すれば f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) 2 = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\end{aligned}}} となる。
陰函数微分を用いれば、商の n-階微分も((n −1)-階までの導函数を用いて)計算することができる。例えば、f⋅h = g を両辺二回微分して f″ について解けば f ″ = ( g h ) ″ = g ″ − 2 f ′ h ′ − f h ″ h {\displaystyle f''=\left({\frac {g}{h}}\right)''={\frac {g''-2f'h'-fh''}{h}}} を得る。