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数学 において、リー環 g が可解 (solvable) であるとは、導来列 が零部分環で終わることをいう。derived Lie algebra は、g の元のペアのすべてのリーブラケット からなるg の部分環で、
[ g , g ] {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} と記される。導来列は部分環の列
g ≥ [ g , g ] ≥ [ [ g , g ] , [ g , g ] ] ≥ [ [ [ g , g ] , [ g , g ] ] , [ [ g , g ] , [ g , g ] ] ] ≥ . . . {\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...} である。導来列が最終的に零部分環に到達するとき、リー環は可解である[1] 。リー環の導来列は群論 における交換子部分群 に対する導来列とアナロガスである。
任意の冪零リー環 は当然可解であるが、逆は正しくない。可解リー環と半単純リー環 は、レヴィ分解(英語版 ) によって示されるように、2つの大きく一般に相補的なクラスをなす。
極大可解部分環はボレル部分環(英語版 ) と呼ばれる。リー環の最大可解イデアル は根基 (英語版 ) と呼ばれる。
特徴づけ g を標数 0 の体上の有限次元リー環とする。以下は同値である。
(i) g は可解である。 (ii) ad(g ) , g の随伴表現 、は可解である。 (iii) g のイデアル a i の有限列が存在して g = a 0 ⊃ a 1 ⊃ . . . a r = 0 , ∀ i [ a i , a i ] ⊂ a i + 1 . {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad \forall i[{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}.} (iv) [g , g ] は冪零である[2] 。 (v) n 次元の g に対して、g の部分環 a i の有限列が存在して、 g = a 0 ⊃ a 1 ⊃ . . . a n = 0 , ∀ i dim a i / a i + 1 = 1 , {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \forall i\operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1,} かつ各 a i + 1 は a i のイデアル[3] 。このタイプの列は elementary sequence と呼ばれる。 (vi) g の部分環 g i の有限列が存在して、 g = g 0 ⊃ g 1 ⊃ . . . g r = 0 , {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,} かつ g i + 1 は g i のイデアルで g i /g i + 1 は可換[4] 。 (vii) キリング形式 B はすべての X ∈ g と Y ∈ [g , g ] に対して B (X , Y ) = 0 を満たす[5] (カルタンの判定法(英語版 ) ) 性質 リーの定理(英語版 ) は以下のようなものである。V が標数 0 の代数閉体 K 上の有限次元ベクトル空間で、g が K の部分体 k 上の可解線型リー環で、π が V 上の g の表現 であれば、すべての元 X ∈ g に対する行列 π (X ) の同時固有ベクトル v ∈ V が存在する。より一般に、この結果は、すべての X ∈ g に対して π (X ) のすべての固有値 が K に入っていれば成り立つ[6] 。
可解リー環のすべての部分リー環、商環、拡大環は可解である。 非零可換リー環は非零可換イデアル、導来列の最後の非零項、を持つ[7] 。 可解リー環の準同型像は可解である[7] 。 a が g の可解イデアルで g /a が可解であれば、g は可解である[7] 。g が有限次元であれば、g のすべての可解イデアルを含む唯一の可解イデアル r ⊂ g が存在する。このイデアルは g の根基 (radical) と呼ばれ、rad g と記される[7] 。a , b ⊂ g が可解イデアルであれば、a + b も可解イデアルである[1] 。可解リー環 g は唯一の最大冪零イデアル n , adX が冪零なる X ∈ g 全体の集合、を持つ。D が g の任意の derivation であれば、D (g ) ⊂ n である[8] 。 Completely solvable Lie algebras リー環 g が completely solvable あるいは split solvable とは、0 から g への g のイデアルの elementary sequence を持つことをいう。有限次元冪零リー環は completely solvable であり、completely solvable Lie algebra は可解である。代数的閉体上、可解リー環は completely solvable であるが、平面のユークリッド等長写像の群の3 次元実リー環は可解だが completely solvable ではない。
(a) 可解リー環 g が split solvable であることと adX のすべての固有値がすべての X ∈ g に対して k に入ることは同値である[7] 。 例 0でない半単純リー環 は可解ではない [1] 。 すべての可換リー環 は可解である。 すべての冪零リー環 は可解である。 b k を gl k の部分環で上三角行列のみからなるとする。このとき b k は可解である。g を X = ( 0 θ x − θ 0 y 0 0 0 ) , θ , x , y ∈ R . {\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .} の形の行列全体の集合とする。すると g は可解であるが split solvable ではない[7] 。これは平面の平行移動と回転の群のリー環に同型である。 関連項目 外部リンク 脚注 参考文献 Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course . Graduate Texts in Mathematics. 129 . New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6 . MR 1153249 Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory . Graduate Texts in Mathematics. 9 . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5 Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction . Progress in Mathematics. 120 (2nd ed.). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5 .