確率論および統計学において、三角分布(さんかくぶんぷ、英: triangular distribution)とは、区間 [a, b] において次の確率密度関数を持った連続確率分布である。
三角分布確率密度関数 ![Plot of the Triangular PMF](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Triangular_distribution_PMF.png/325px-Triangular_distribution_PMF.png) |
累積分布関数 ![Plot of the Triangular CMF](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Triangular_distribution_CMF.png/325px-Triangular_distribution_CMF.png) |
母数 | ![{\displaystyle a\in (-\infty ,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d68c8c85a063ede50264730edff1a883518a4a)
![{\displaystyle b\in (a,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be926baabccbcf1976e304eade24b976decce1a9)
![{\displaystyle c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997256364b06acf0710e5d24da39e8c42991a249) |
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台 | ![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935) |
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確率密度関数 | ![{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{for }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{for }}b<x.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e4e98ad8069ea39f61fe2f0be5b83b47f631bc) |
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累積分布関数 | ![{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{for }}b\leq x.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b472d4e58e4df0814805aab0a2e752d6bdebf3) |
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期待値 | ![{\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37979a2d0cb3f9b7f561d069d703bba27cc3ecc) |
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中央値 | ![{\displaystyle {\begin{cases}a+{\sqrt {\frac {(b-a)(c-a)}{2}}}&{\text{for }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\sqrt {\frac {(b-a)(b-c)}{2}}}&{\text{for }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fe21e5d8eb394b9e5dca33a2c790c001328393) |
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最頻値 | ![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455) |
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分散 | ![{\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3075793a74c85fbf964bc891b4d4f7338aeb23d1) |
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歪度 | ![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69fe800a83f156ba7c4e7867f2a92f96e130a50) |
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尖度 | ![{\displaystyle -{\frac {3}{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c60b4815a639f02531eeedc5ec631128300753) |
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エントロピー | ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c984af648d4f4341bbf3e26ed403da79cf6d6a57) |
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モーメント母関数 | ![{\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1cc021383baa928a86a3e46c34ac12628528d1) |
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特性関数 | ![{\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5535fd934bea4fd9afbccc9e5204048d95fc5b40) |
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テンプレートを表示 |
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\cfrac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&\mathrm {for\ } a\leq x<c,\\{\cfrac {2}{b-a}}&\mathrm {for\ } x=c,\\{\cfrac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&\mathrm {for\ } c<x\leq b.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3093cbcef00bf3a0466ede954bd6c203365fa57b)
ここで、パラメータ a は最小値、b は最大値、c は最頻値である。
三角分布の分布関数は
![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\cfrac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&\mathrm {for\ } a\leq x\leq c,\\1-{\cfrac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&\mathrm {for\ } c<x\leq b.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c854777fb2b0f39ec9b03ff74dc8561af09229)
三角分布の平均 E(X) および分散 V(X) は、
![{\displaystyle E(X)={\frac {a+b+c}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d02c3a758047b01be130540ab462d980e0d4be)
![{\displaystyle V(X)={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce84113ee88f603757d396d091d13ed67ce0c80)
関連項目