Teorema di inversione di Lagrange

Sia ${\displaystyle z}$ definita come una funzione di ${\displaystyle w}$ tramite un'equazione nella forma

${\displaystyle z=f(w)}$

dove ${\displaystyle f}$ è analitica nel punto ${\displaystyle w=a}$ e inoltre ${\displaystyle f'(a)\neq 0}$ . Allora è possibile invertire o risolvere l'equazione per ${\displaystyle w}$ nella forma di una serie in termini di ${\displaystyle z}$ , ovvero^[1]

${\displaystyle w=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},}$

dove

${\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}\left[{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}$

Il teorema afferma inoltre che la serie ha un raggio di convergenza non nullo, ossia che rappresenta una funzione analitica di ${\displaystyle z}$ (che si potrebbe indicare con ${\displaystyle g(z)}$ in un intorno di ${\displaystyle z=f(a)}$ . Questo procedimento è anche chiamato reversione delle serie.

Se l'ipotesi di analiticità della funzione non è verificata, la formula è ancora valida per serie formali di potenze e può essere generalizzata in numerosi modi. Può essere formulata per funzioni di più variabili, può essere estesa per fornire una formula pronta per ${\displaystyle F(g(z))}$ per qualunque funzione analitica ${\displaystyle F}$ , e infine generalizzata al caso ${\displaystyle f'(a)=0}$ , dove l'inversa ${\displaystyle g}$ è una funzione polidroma.

Il teorema fu dimostrato da Lagrange^[2] e generalizzato da Hans Heinrich Bürmann,^[3][4][5], entrambi nel tardo XVIII secolo. C'è una chiara derivazione usando l'analisi complessa e l'integrazione sui contorni;^[6] la versione delle serie formali di potenze complesse è una conseguenza della conoscenza della formula per i polinomi, perciò la teoria delle funzioni analitiche può essere applicata.

Se ${\displaystyle f}$ è una serie formale di potenze, allora la formula sopra non dà i coefficienti dell'inversa moltiplicativa ${\displaystyle g}$ direttamente in termini dei coefficienti di ${\displaystyle f}$ . Se è possibile esprimere le funzioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ in serie formali di potenze come

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad \mathrm {e} \qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}}$

con ${\displaystyle f_{0}=0}$ e ${\displaystyle f_{1}\neq 0}$ , allora una forma esplicita dei coefficienti inversi può essere data in termini dei polinomi di Bell:^[7]

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{(k)}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,}$

dove ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}$    ${\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}},}$   e   ${\displaystyle n^{(k)}=n(n+1)\cdots (n+k-1),}$   essendo il fattoriale crescente.

Quando ${\displaystyle f_{1}=1}$ , l'ultima formula può essere interpretata in termini delle facce dell'associaedro^[8]

${\displaystyle g_{n}=\sum _{F{\text{ facce di }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,}$

con ${\displaystyle f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}}$ per ogni faccia ${\displaystyle F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}}$ dell'associaedro ${\displaystyle K_{n}}$ .

Per esempio, l'equazione algebrica di grado ${\displaystyle p}$ nella forma

${\displaystyle x^{p}-x+z=0}$

può essere risolta in ${\displaystyle x}$ mediante la formula di inversione di Lagrange applicata alla funzione ${\displaystyle f(x)=x-x^{p}}$ , portando alla soluzione in serie formale

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{pk \choose k}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}$

Dai test di convergenza, questa serie è infatti convergente per ${\displaystyle |z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)}}$ , che è anche il più grande disco in cui un'inversa locale di ${\displaystyle f}$ può essere definita.

Esiste un caso speciale del teorema di inversione di Lagrange che è usato in combinatoria e applicato quando ${\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}$ per qualche funzione analitica ${\displaystyle \phi (w)}$ con ${\displaystyle \phi (0)\neq 0}$ . Prendendo ${\displaystyle a=0}$ si ottiene ${\displaystyle f(a)=f(0)=0}$ e inoltre

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} w^{n-1}}}\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} w^{n-1}}}\phi (w)^{n}\right)\right)z^{n},}$

che alternativamente può essere scritta come

${\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}$

dove ${\displaystyle [w^{r}]}$ è un operatore che estrae i coefficienti di ${\displaystyle w^{r}}$ nella serie di Taylor di una funzione di ${\displaystyle w}$ .

Una generalizzazione utile della formula è conosciuta come formula di Lagrange–Bürmann:

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})}$

dove ${\displaystyle H}$ è un'arbitraria funzione analitica.

A volte, la derivata ${\displaystyle H'(w)}$ può essere piuttosto complicata, così una versione più semplice della formula sostituisce ${\displaystyle H'(w)}$ con ${\displaystyle H(w)(1-\phi '(w)/\phi (w))}$ per ottenere

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}$

che coinvolge ${\displaystyle \phi '(w)}$ invece di ${\displaystyle H'(w)}$ .

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione W di Lambert.

La funzione W di Lambert è una funzione ${\displaystyle W(z)}$ che è implicitamente definita dall'equazione

${\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z}$

È possibile usare il teorema per calcolare i coefficienti della serie di taylor di ${\displaystyle W(z)}$ in ${\displaystyle z=0}$ .Prendendo ${\displaystyle f(w)=w\mathrm {e} ^{w}}$ , ${\displaystyle a=f(a)=0}$ e riconoscendo che

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\ \mathrm {e} ^{\alpha \,x}\,=\,\alpha ^{n}\,\mathrm {e} ^{\alpha \,x}}$

si ottiene

${\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}$

Il raggio di convergenza di questa serie è ${\displaystyle e^{-1}}$ (questo esempio si riferisce al ramo principale della funzione di Lambert).

Una serie che converge per ${\displaystyle z}$ maggiori (sebbene non per tutti) può essere derivata dall'inversione della serie di un'altra funzione. La funzione ${\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1\,}$ soddisfa l'equazione

${\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z\,}$

Allora ${\displaystyle z+\ln(1+z)\,}$ si può espandere in serie di potenze e invertirla. Questo da una serie per ${\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1\,}$ :

${\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-{\frac {47z^{6}}{1474560}}-{\frac {73z^{7}}{41287680}}+{\frac {2447z^{8}}{1321205760}}+O(z^{9}).}$

${\displaystyle W(x)}$ si calcola sostituendo ${\displaystyle \ln x-1}$ al posto di ${\displaystyle z}$ nella serie di sopra. Per esempio, sostituendo ${\displaystyle x=1}$ e quindi ${\displaystyle z=-1}$ si ha il valore di ${\displaystyle W(1)=0.567143}$ .

Si consideri l'insieme ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ degli alberi binari non etichettati.Un elemento di ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ è o una foglia di grandezza nulla, oppure una radice con due sottoalberi. ${\displaystyle B_{n}}$ denota il numero di alberi binari con ${\displaystyle n}$ nodi.

Si noti che rimuovere la radice divide l'albero binario in due alberi di grandezza più piccola. Questo fornisce l'equazione funzionale della funzione generatrice ${\displaystyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}}$ :

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}$

Ponendo ${\displaystyle C(z)=B(z)-1}$ , si ha così ${\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}}$ . Ora applicando il teorema di inversione alla funzione ${\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}$ ,

${\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{2n \choose n-1}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}.}$

Si conclude così che ${\displaystyle B_{n}}$ è un numero di Catalan.

Nel teorema di Laplace-Erdelyi che fornisce l'approssimazione asintotica per integrali del tipo di Laplace, l'inversione della funzione è un passo cruciale del procedimento.

• Serie di Taylor
• Funzione W di Lambert
• Serie formale di potenze

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di inversione di Lagrange, su MathWorld, Wolfram Research.

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