Sottogruppo di torsione

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo e ${\displaystyle p}$ un numero primo; allora il sottogruppo di ${\displaystyle p}$ -torsione di ${\displaystyle G}$ (spesso indicato con ${\displaystyle G(p)}$ ) viene definito come segue:

${\displaystyle G(p):=\{g\in G\;|\;\exists k\in \mathbb {N} \;,o(g)=p^{k}\}.}$

In altre parole, il sottogruppo di ${\displaystyle p}$ -torsione è l'insieme degli elementi il cui ordine è una potenza di ${\displaystyle p.}$

La componente di torsione di un gruppo non abeliano non è, in generale, un sottogruppo. Per esempio, nel gruppo diedrale infinito, con la rappresentazione:

${\displaystyle \langle s_{1},s_{2}\mid s_{1}^{2}=s_{2}^{2}=1\rangle ,}$

${\displaystyle s_{1}}$ e ${\displaystyle s_{2}}$ sono entrambi elementi del gruppo di torsione, mentre ${\displaystyle s_{1}s_{2}}$ ha ordine infinito.

Sia ${\displaystyle x}$ un elemento del gruppo ${\displaystyle G}$ avente ordine ${\displaystyle m}$ e sia ${\displaystyle \varphi }$ un endomorfismo di ${\displaystyle G}$ :

${\displaystyle \varphi (x)^{m}=\varphi (x^{m})=\varphi (1)=1.}$

Ossia: l'immagine di un elemento avente ordine finito ha ordine finito. Se ${\displaystyle T}$ denota la componente di torsione di ${\displaystyle G}$ , allora ${\displaystyle \varphi (T)\subseteq T}$ .

Se ${\displaystyle \varphi }$ è un automorfismo di ${\displaystyle G}$ , ne segue che ${\displaystyle \varphi (T)=T}$ e quindi ${\displaystyle T}$ è un sottogruppo caratteristico di ${\displaystyle G}$ .

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