Funzioni di Lauricella

${\displaystyle F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

${\displaystyle F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

${\displaystyle F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

${\displaystyle F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

dove ${\displaystyle (a)_{i}}$ denota il simbolo di Pochhammer, cioè

${\displaystyle (a)_{i}:=a(a+1)\dots (a+i-1).\,}$

Lauricella ha anche indicato l'esistenza di altre dieci interessanti funzioni ipergeometriche di tre variabili. Queste sono state individuate e studiate da Saran nel 1954. Si parla anche delle 14 funzioni ipergeometriche di Lauricella-Saran.

Le quattro serie introdotte da Lauricella si possono estendere direttamente ad altrettante funzioni di ${\displaystyle n}$ variabili come segue.

${\displaystyle F_{A}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\ldots (b_{n})_{i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\ldots (c_{n})_{i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}}$

${\displaystyle F_{B}^{(n)}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{3},c;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}\ldots (a_{n})_{i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\ldots (b_{n})_{i_{n}}}{(c)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}}$

${\displaystyle F_{C}^{(n)}(a,b,c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}(b)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\ldots (c_{n})_{i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}}$

${\displaystyle F_{D}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\ldots (b_{n})_{i_{n}}}{(c)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}}$

Talora il termini serie ipergeometriche di Lauricella denota queste stesse serie.

Quando si riducono le variabili a due si ottengono le serie ipergeometriche di Appell come segue:

${\displaystyle F_{A}\equiv F_{2},\,F_{B}\equiv F_{3},\,F_{C}\equiv F_{4},\,F_{D}\equiv F_{1}.}$

Se ci si riduce ad una variabile tutte le quattro funzioni si riducono alla serie ipergeometrica di Gauss

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a;b;c;x).}$

Queste definizioni sono generalizzazioni della definizione della serie ipergeometrica.

• G. Lauricella: Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili, Rend. Circ. Mat. Palermo, 7, p.111-158 (1893).
• (FR) Paul Émile Appell, Joseph Kampé de Fériet: Fonctions hypergéométriques et hypersphériques (Parigi, Gauthier-Villars, 1926)
• S. Saran: Hypergeometric Functions of Three Variables, Ganita, 5, No.1, p77-91 (1954).
• (EN) Lucy Joan Slater: Generalized Hypergeometric Functions capitolo 8 (Cambridge University Press, 1966) ISBN 052106483X MR 0201688
• (EN) H. Exton: Multiple hypergeometric functions (Halsted Press, 1976) ISBN 0470151900

• funzioni di Lauricella MathWorld

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