Radiante

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo. Siano ${\displaystyle l}$ la lunghezza dell'arco intercettato dall'angolo sulla circonferenza, ${\displaystyle r}$ quella del raggio della circonferenza, ${\displaystyle c}$ quella della circonferenza e ${\displaystyle \alpha }$ l'ampiezza dell'angolo. Il rapporto ${\displaystyle l/r}$ non dipende dalla lunghezza del raggio, ma solo dall'ampiezza dell'angolo. Questa circostanza permette di definire la misura in radianti dell'angolo come:

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}};}$

${\displaystyle l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }.}$

Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.

Infatti: [rad] = [L] / [L] = [1].

Definiamo come radiante l'ampiezza dell'angolo che sottende un arco di circonferenza che, rettificato, abbia lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

Essendo la lunghezza della circonferenza ${\displaystyle c}$ pari a ${\displaystyle 2\pi r}$ e il raggio lungo ${\displaystyle r}$ , l'angolo di un cerchio equivale a ${\displaystyle 2\pi }$ .

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .}$

Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:

${\displaystyle c=2\pi r,}$

si può scrivere la seguente proporzione:

${\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},}$

${\displaystyle \alpha }$ risulta funzione di ${\displaystyle l}$ :

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),}$

ossia

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},}$

da cui

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}.}$

Dunque, ponendo ${\displaystyle l=r}$ , dall'equazione precedente si ottiene:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}}$

Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:

${\displaystyle 360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}}$

Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:

${\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}$

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }}$

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.}$

La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando i gradi sessagesimali o altre unità di misura degli angoli.

Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$

e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots }$

Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere appesantite da costanti di conversione e da loro potenze.

Un radiante è pari a ${\displaystyle 180/\pi }$ gradi. Per convertire radianti in gradi è quindi sufficiente moltiplicare per ${\displaystyle 180/\pi }$ :

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=\alpha ^{(\mathrm {rad} )}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Ad esempio:

${\displaystyle 1{\mbox{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}2958^{\circ };}$

${\displaystyle 2{,}5{\mbox{ rad}}=2{,}5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143{,}2394^{\circ };}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }.}$

Analogamente, per convertire gradi in radianti si moltiplica per π/180:

${\displaystyle \alpha ^{(\mathrm {rad} )}=\alpha ^{(\circ )}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}.}$

Ad esempio:

${\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}0175{\text{ rad}};}$

${\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}4014{\text{ rad}}.}$

Si ha quindi:

1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secondi;

1 grado = 0,01745 32925 19943 rad;

1 primo = 0,00029 08882 08666 rad;

1 secondo = 0,00000 48481 36811 rad.

• G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di Matematica Volume primo, Padova, Cedam, 1989, ISBN 88-13-16794-6

• Grado d'arco
• Grado centesimale
• Angolo
• Pi greco
• Steradiante
• millesimo di radiante

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su radiante

• (EN) radiant / radian, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Radiante, su MathWorld, Wolfram Research.

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