Poliedro sferico

Il primo studio significativo sui poliedri sferici è quello scritto nel X secolo dal matematico e astronomo persiano Abu l-Wafa Muhammad al-Buzjani.^[1]

L'utilizzo dei poliedri sferici fu di grande aiuto all'elaborazione della geometria dei poliedri simmetrici e di quelli uniformi e al loro studio. Così, ad esempio, circa duecento anni fa, all'inizio del XIX secolo, Poinsot utilizzò i poliedri sferici per arrivare alla scoperta dei quattro poliedri stellati regolari, detti anche poliedri di Keplero-Poinsot. A metà del XX secolo, invece, Harold Coxeter utilizzò tali poliedri per poter enumerare tutti tranne uno i poliedri uniformi esistenti, attraverso la costruzione di Wythoff (l'unico poliedro che rimase fuori fu il grande dirombicosidodecaedro).^[2][3]

La formula di Eulero vale anche per i poliedri sferici, ossia anche nel loro caso, indicando con ${\displaystyle F}$ , ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle V}$ rispettivamente i numeri di facce, spigoli e vertici del poliedro, si ha che: ${\displaystyle F+V-S=2\,\!}$ oppure ${\displaystyle F+V=S+2\,\!}$ .^[4]

Tutti i poliedri regolari e semiregolari, e i loro duali, possono essere proiettati su una sfera come tassellature:

Simbolo di Schläfli	{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	t{q,p}	{q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Incidenza vertici	pq	q.2p.2p	p.q.p.q	p.2q.2q	qp	q.4.p.4	4.2q.2p	3.3.q.3.p
Simmetria tetraedrica (3 3 2)	33	3.6.6	3.3.3.3	3.6.6	33	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3.3
		V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6		V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3
Simmetria ottaedrica (4 3 2)	43	3.8.8	3.4.3.4	4.6.6	34	3.4.4.4	4.6.8	3.3.3.3.4
		V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6		V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4
Simmetria icosaedrica (5 3 2)	53	3.10.10	3.5.3.5	5.6.6	35	3.4.5.4	4.6.10	3.3.3.3.5
		V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6		V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5
Esempio diedrico p=6 (2 2 6)	62	2.12.12	2.6.2.6	6.4.4	26	2.4.6.4	4.4.12	3.3.3.6

n	2	3	4	5	6	7	8	10	...
n-Prisma (2 2 p)									...
n-Bipiramide (2 2 p)									...
n-Antiprisma									...
n-Trapezoedro									...

Come detto la tassellatura sferica permette di ottenere poliedri sferici che non sono ottenibili in geometria euclidea se non come casi degeneri, ossia gli osoedri, aventi simbolo di Schläfli {2,n}, e i diedri, aventi simbolo di Schläfli {n,2}. Nelle due tabelle seguenti sono riportati alcuni osoedri e diedri regolari.

Osoedri regolari · Mutazioni di simmetria *n22 di tassellature osoedriche regolari: nn

Spazio	Sferico													Euclideo
Nome della tassellatura	Osoedro monogonale	Osoedro digonale	Osoedro trigonale	Osoedro tetragonale	Osoedro pentagonale	Osoedro esagonale	Osoedro ettagonale	Osoedro ottagonale	Osoedro ennagonale	Osoedro decagonale	Osoedro undecagonale	Osoedro dodecagonale	...	Osoedro apeirogonale
Immagine della tassellatura													...
Simbolo di Schläfli	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}	{2,9}	{2,10}	{2,11}	{2,12}	...	{2,∞}
Diagramma di Coxeter-Dynkin													...
Facce e spigoli	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞
Vertici	2												...	2
Incidenza dei vertici	2	2.2	23	24	25	26	27	28	29	210	211	212	...	2∞

Famiglia di diedri regolari · Mutazioni di simmetria *n22 di tassellature diedrali regolari: nn

Spazio	Sferico							Euclideo
Nome tassellatura	Diedro monogonale	Diedro digonale	(Triangolare) Diedro trigonale	(Tetragonale) Diedro quadrato	Diedro pentagonale	Diedro esagonale	...	Diedro apeirogonale
Immagine tassellatura							...
Notazione di Schläfli	{1,2}	{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}	...	{∞,2}
Diagramma di Coxeter-Dynkin							...
Facce	2 {1}	2 {2}	2 {3}	2 {4}	2 {5}	2 {6}	...	2 {∞}
Spigoli e vertici	1	2	3	4	5	6	...	∞
Incidenza dei vertici	1.1	2.2	3.3	4.4	5.5	6.6	...	∞.∞

I poliedri sferici che hanno almeno una simmetria inversiva sono connessi ai poliedri proiettivi^[5] (ossia tassellature del piano proiettivo reale) - proprio come la sfera è un rivestimento universale dello spazio proiettivo (esiste infatti il rivestimento con due fogli ${\displaystyle p:S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}}$ dalla sfera unitaria allo spazio proiettivo reale) i poliedri proiettivi corrispondono tramite una mappa a 2 fogli a poliedri sferici che sono centralmente simmetrici. Inoltre, poiché un rivestimento è un omeomorfismo locale (in questo caso un'isometria locale), sia i poliedri sferici che i poliedri proiettivi corrispondenti hanno la stessa figura al vertice astratta.

Ad esempio, il rivestimento a due fogli di un emi-cubo (proiettivo) è il cubo sferico. L'emi-cubo ha 4 certici, 3 facce e 6 spigoli, ognuno dei quali è rivestito da due copie nella sfera, e di conseguenza il cubo ha 8 vertici, 6 facce e 12 spigoli, mentre entrambi questi poliedri hanno figura al vertice 4.4.4 (tre quadrati che si incontrano a un vertice).

Gli esempi meglio conosciuti di poliedri proiettivi sono i poliedri proiettivi regolari, i quozienti dei solidi platonici centralmente simmetrici, così come due classi infinite di diedri e osoedri:

• Emi-cubo, {4,3}/2
• Emi-ottaedro, {3,4}/2
• Emi-dodecaedro, {5,3}/2
• Emi-icosaedro, {3,5}/2
• Emi-diedro, {2p,2}/2, p>=1
• Emi-osoedro, {2,2p}/2, p>=1

• Geometria sferica
• Trigonometria sferica

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Poliedro sferico

• (EN) Eric W. Weisstein, Poliedro sferico, su MathWorld, Wolfram Research.

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