Operatore momento angolare totale

L'operatore momento angolare totale, analogamente al momento angolare orbitale, genera le rotazioni lungo un asse: la funzione d'onda ${\displaystyle \psi (x)}$ ruotata di un angolo ${\displaystyle \phi }$ attorno all'asse ${\displaystyle z}$ , diventa:

${\displaystyle \psi '(x)={\hat {R}}_{z}(\phi )\psi (x)=e^{i\phi J_{z}}\psi (x)}$ .

Per una rotazione infinitesima si ha:

${\displaystyle \psi '(x)=\psi (x)+id\phi J_{z}\psi (x)\ }$ .

Lo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica).

Le proprietà di commutazione per l'operatore momento angolare totale sono:

${\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i\hbar {\hat {J}}_{z}}$

${\displaystyle [{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i\hbar {\hat {J}}_{x}}$

${\displaystyle [{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i\hbar {\hat {J}}_{y}}$ ,

dove ${\displaystyle {\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}}$ sono le proiezioni del momento angolare totale lungo gli assi cartesiani; in forma compatta è possibile scrivere:

${\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}}$ ,

dove ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ è il tensore di Levi-Civita.

Partendo dal momento angolare totale, è possibile costruire l'operatore ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}}$ .

Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare totale; infatti:

${\displaystyle [{\hat {J}}_{z},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0}$

${\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0}$

${\displaystyle [{\hat {J}}_{y},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0}$ .

È rilevante il comportamento delle componenti del momento angolare totale con gli operatori di posizione e impulso; per quanto riguarda l'operatore di posizione è possibile determinare le seguenti relazioni:

${\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {x}}]=0}$

${\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}}$

${\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}}$ .

Allo stesso modo si possono ottenere le analoghe relazioni con ${\displaystyle {\hat {J}}_{y}}$ ed ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ ; in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse. In forma compatta si ha:

${\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}}$ ,

dove ${\displaystyle {\hat {x}}_{j}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$ e ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a ${\displaystyle +1}$ per permutazioni pari degli indici, ${\displaystyle -1}$ per permutazioni dispari e ${\displaystyle 0}$ se ${\displaystyle i=j}$ .

Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente lo stesso discorso:

${\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}}$ .

Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica).

Si è visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutte singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. È possibile scegliere una sola componente (per esempio ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ ) che commuta con ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ ; in questo modo lo stato, che è autostato di entrambi gli operatori, può essere chiamato ${\displaystyle |j,j_{z}\rangle }$ . Si possono trovare quali sono gli autovalori ${\displaystyle a,b}$ (a volte più propriamente indicati con ${\displaystyle j}$ , ${\displaystyle j_{z}}$ , oppure con ${\displaystyle j}$ , ${\displaystyle m_{j}}$ ) simultanei di questi operatori:

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}a|j,m_{j}\rangle \\{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =\hbar b|j,m_{j}\rangle \end{cases}}}$

Per fare questo è necessario introdurre due operatori, detti operatori di scala:

${\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }={\hat {J}}_{x}\pm i{\hat {J}}_{y}}$ ,

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le seguenti proprietà:

${\displaystyle [{\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}]=2\hbar {\hat {J}}_{z}}$

${\displaystyle [{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {J}}_{\pm }}$

${\displaystyle [{\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{\pm }]=0}$ .

L'operatore ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ può essere espresso in termini di ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ e operatori di scala ${\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }}$ nel seguente modo:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}\hbar }$ .

Se si fa agire ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ sullo stato ${\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle }$ si ottiene:

${\displaystyle {\hat {J}}_{z}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)=\hbar (b\pm 1)\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)}$ .

Applicando ${\displaystyle {\hat {J}}_{+}}$ l'autovalore di ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ (cioè ${\displaystyle b}$ ) aumenta di ${\displaystyle \hbar }$ ; viceversa applicando ${\displaystyle {\hat {J}}_{-}}$ , l'autovalore viene diminuito di ${\displaystyle \hbar }$ , da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ si ha:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)=\hbar ^{2}a{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle }$ ,

cioè l'applicazione degli operatori ${\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }}$ cambia l'autovalore di ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ , ma non di ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ .

La relazione che lega ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ e ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ è:

${\displaystyle \langle j,m_{j}|\left({\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right)|j,m_{j}\rangle =\left\langle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right\rangle \geq 0}$ .

Ciò implica che gli autovalori della proiezione del momento angolare totale ${\displaystyle b}$ non possono superare quelli di ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ , cioè ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle -{\sqrt {a}}\leq b\leq {\sqrt {a}}}$ .

Quindi l'autovalore di ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ . Posti ${\displaystyle b_{min}}$ il valore minimo e ${\displaystyle b_{max}}$ il valore massimo che può assumere ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ , e applicando successivamente gli operatori di scala ${\displaystyle {\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}}$ , deve essere che:

${\displaystyle {\hat {J}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0\;\;}$ e ${\displaystyle \;\;{\hat {J}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0}$ .

Se si applica ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ a ${\displaystyle |a,b_{max}\rangle }$ si ottiene che:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle }$ ,

da cui:

${\displaystyle \hbar ^{2}a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)}$ .

Quindi l'autovalore di ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ è ${\displaystyle a=b_{max}(b_{max}+1)}$ volte ${\displaystyle \hbar ^{2}}$ . A causa della limitatezza di ${\displaystyle b}$ e data la simmetria di cui ${\displaystyle {\hat {J_{z}}}}$ deve godere rispetto al piano ${\displaystyle xy}$ , si ha che ${\displaystyle b}$ deve essere necessariamente o intero o semintero. Vi sono pertanto ${\displaystyle (2b_{max}+1)}$ valori di ${\displaystyle b}$ , cioè ${\displaystyle b=\{-b_{max},-b_{max}+1,\dots ,b_{max}-1,b_{max}\}}$ .

Per gli autovalori di ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ si ottiene:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j,m_{j}\rangle }$ ,

e per gli autovalori di ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ :

${\displaystyle {\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar |j,m_{j}\rangle }$ ,

dove ${\displaystyle j}$ è il numero quantico del momento angolare totale, che può essere intero o semintero, ed ${\displaystyle m_{j}=\{-j,-j+1,\dots ,j-1,j\}}$ è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.

Per analizzare la struttura delle matrici dei momenti angolari, si assuma che tali momenti siano calcolati sugli autostati ${\displaystyle |j,j_{m}\rangle }$ già normalizzati; di conseguenza in questa base di autostati sia ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}$ sia ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$ sono diagonali:

${\displaystyle \langle j',m'_{j}|{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}\delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}}$

${\displaystyle \langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}}$ .

Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:

${\displaystyle {\hat {J}}_{+}|j,m_{j}\rangle =c_{+}|j,m_{j}+1\rangle }$ ,

dove ${\displaystyle c_{+}}$ è un coefficiente. Utilizzando l'uguaglianza:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}}$ ,

e ricavando l'espressione di ${\displaystyle {\hat {J}}_{+}}$ e di ${\displaystyle {\hat {J}}_{-}}$ , per ${\displaystyle {\hat {J}}_{+}}$ si ha che:

${\displaystyle |c_{+}|^{2}=\hbar ^{2}[j(j+1)-m_{j}^{2}-m_{j}]}$ .

In definitiva:

${\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle =\hbar {\sqrt {(j\mp m_{j})(j\pm m_{j}+1)}}|j,m_{j}\pm 1\rangle }$ ,

e gli elementi di matrice sono:

${\displaystyle \langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle ={\sqrt {(j\mp m_{j})(j\pm m_{j}+1)}}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}\pm 1}}$ .

Per esempio per ${\displaystyle j=1}$ si ottiene:

${\displaystyle {\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {J}}_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$ .

Per ${\displaystyle j={\frac {1}{2}}}$ le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:

${\displaystyle {\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ .

Per ${\displaystyle j={\frac {3}{2}}}$ le matrici prendono la forma:

${\displaystyle {\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}}$ .

• J.J Sakurai, Meccanica quantistica moderna, Bologna, Zanichelli, 2014, ISBN 978-88-08-26656-9.
• L.D. Landau e E.M. Lifshitz, Meccanica quantistica, teoria non relativistica, Roma, Editori Riuniti Univ., 2010, ISBN 978-88-64-73208-4.

• Numero quantico orbitale
• Numero quantico
• Spin
• Momento angolare orbitale
• Autofunzioni del momento angolare
• Composizione di operatori momento angolare
• Coefficienti di Clebsch-Gordan
• Serie di Clebsch-Gordan

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