Operatore di Hilbert-Schmidt
In matematica, un operatore di Hilbert-Schmidt, il cui nome è dovuto a David Hilbert e Erhard Schmidt, è un operatore limitato su uno spazio di Hilbert per il quale una data norma, detta norma di Hilbert–Schmidt, è finita.
Definizione
Sia uno spazio di Hilbert complesso, con
antilineare nella prima variabile e lineare nella seconda. Un operatore limitato
è un operatore di Hilbert-Schmidt se è finita la traccia del modulo quadro,[1] ovvero se
In modo equivalente, poiché , si può definire la norma di Hilbert–Schmidt come la radice quadrata di
e dire che è un operatore di Hilbert-Schmidt se tale norma è finita.[2] L'insieme
è una qualunque base ortonormale di
, mentre
è la norma di
. Inoltre, si verifica che
dove
La norma di Hilbert-Schmidt è un caso particolare della norma di Schatten p-esima
In uno spazio euclideo di dimensione finita è anche detta norma di Frobenius.
Il prodotto interno tra due operatori di Hilbert–Schmidt e
è definito nel seguente modo
Tale forma hermitiana induce la norma di Hilbert-Schmidt sopra descritta, e rende la classe degli operatori di Hilbert-Schmidt uno spazio di Hilbert.
Proprietà
- Gli operatori di Hilbert-Schmidt formano uno *-ideale nell'algebra di Banach degli operatori limitati su
. Essi costituiscono inoltre uno spazio di Hilbert che si dimostra essere isomorfo e isometrico al prodotto tensoriale
, dove
denota lo spazio duale di
.
- Gli operatori di classe traccia sono operatori di Hilbert-Schmidt.
- Un operatore di Hilbert-Schmidt è un operatore compatto. Viceversa, un operatore compatto è di classe traccia se e solo se
- dove i numeri
sono i valori singolari dell'operatore.
- Gli operatori di rango finito sono densi nello spazio degli operatori di classe traccia rispetto alla norma
.
- Due operatori
e
sono di Hilbert–Schmidt se e solo se
è di classe traccia.
- Un operatore
è di Hilbert-Schmidt se e solo se
per una qualche base ortonormale
di
.
- Sia
uno spazio di misura e sia
lo spazio delle funzioni quadrato sommabili su
. Una condizione sufficiente affinché un operatore limitato
definito su
sia di Hilbert-Schmidt è che esista una funzione
- tale che
- e si ha inoltre
Note
Bibliografia
- (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) M.I. Voitsekhovskii, Hilbert-Schmidt operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.