Intero algebrico

In algebra, un intero algebrico è un numero complesso che è radice di un polinomio monico e a coefficienti interi, cioè un polinomio del tipo: ${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$ dove i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ sono tutti numeri interi.

Come i numeri interi sono un sottoanello del campo formato dai numeri razionali, gli interi algebrici formano un sottoanello del campo dei numeri algebrici. La chiusura algebrica dei numeri razionali è formata dai numeri algebrici, i quali formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita sui razionali. L'insieme dei numeri algebrici ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ e l'insieme dei numeri trascendenti ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ formano il campo complesso, cioè

${\displaystyle \mathbb {C} ={\mathcal {A}}\cup {\mathcal {T}}.}$

Quindi un intero algebrico è un tipo particolare di numero algebrico. L'insieme degli interi algebrici è della forma

${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left\{\alpha \in \mathbb {C} |\quad \exists f(x)\in \mathbb {Z} [x],\quad f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},\quad f(\alpha )=0,\quad a_{i}\in \mathbb {Z} ,\,\,n\in \mathbb {N} \right\}\subseteq {\mathcal {A}},}$

dove ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ indica l'anello dei polinomi formato dall'insieme di polinomi in una o più indeterminate con coefficienti in ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

L'insieme ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ è un sottoanello del campo complesso.^[1]